Elementi di Euclide

Prop. 34: Sia i lati che gli angoli opposti dei parallelogrammi sono uguali tra loro, e la diagonale li seca a metà

Dimostrazione

Sia dato un parallelogrammo ABCD e una sua diagonale BC: dico che sia i lati sia gli angoli opposti del parallelogrammo ABCD sono uguali tra loro e che la diagonale BC lo seca a metà.

Poiché AB è parallelo a CD, e la retta BC incide su di esse, allora gli angoli alterni ABC e BCD sono uguali tra loro (Prop.1-29). Di nuovo, poiché AC è parallelo a BD, e BC incide su di esse, allora gli angoli alterni ACB e CBD sono uguali tra loro (Prop.1-29).

Pertanto ABC e DCB sono due triangoli che hanno i due angoli ABC e BCA rispettivamente uguali ai due angoli DCB e CBD, e un lato uguale a un lato, cioè quello agli angoli uguali e in comune tra loro, BC. Pertanto essi hanno i lati restanti uguali rispettivamente ai lati restanti, e l'angolo restante uguale all'angolo restante (Prop.1-26). Il lato AB è quindi uguale al lato CD, e AC uguale a BD, e inoltre l'angolo BAC uguale all'angolo CDB.

Poiché l'angolo ABC è uguale all'angolo BCD, e l'angolo CBD è uguale all'angolo ACB, allora l'angolo totale ABD è uguale all'angolo totale ACD.

E l'angolo BAC è stato dimostrato uguale all'angolo CDB. Pertanto nei domini parallelogrammici sia i lati che gli angoli opposti sono uguali tra loro.

Dico ora anche che la diagonale li seca a metà.

Poiché AB è uguale a CD, e BC è in comune, i due lati AB e BC sono rispettivamente uguali ai due lati DC e CB, e l'angolo ABC è uguale all'angolo BCD (Prop.1-4). Pertanto anche la base AC è uguale a DB, e il triangolo ABC è uguale al triangolo DCB. La diagonale BC biseca quindi il parallelogramma ACDB.

Pertanto nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali tra loro, e la bisettrice lo biseca.