Elementi di Euclide

Prop. 26: Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due angoli e un solo lato, o quello agli angoli uguali oppure quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, avranno anche i restanti lati rispettivamente uguali ai restanti lati, e il restante angolo al restante angolo

Dimostrazione

Siano dati due triangoli ABC e DEF che hanno due angoli ABC e BCA rispettivamente uguali a due angoli DEF e EFD, cioè ABC uguale a DEF e BAC uguale a EFD; e abbiano anche solo un lato uguale a un solo lato, in primo luogo quello agli angoli uguali, BC a EF: dico che anche i restanti lati saranno uguali ai restanti lati, AB a DE e AC a DF, e il restante angolo al restante angolo BAC a EDF.

Se AB non è uguale a DE, allora uno di essi è maggiore.

Sia AB il maggiore. Si prenda BG uguale a DE (Prop.1-3) e si congiunga GC.

Poiché BG è uguale a DE, e BC è uguale a EF, i due lati GB e BC sono pertanto rispettivamente uguali ai due lati DE e EF, e l'angolo GBC è uguale all'angolo DEF; la base GC è quindi uguale alla base DF, il triangolo GBC è uguale al triangolo DEF, e i restanti angoli uguali ai restanti angoli, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4). Pertanto l'angolo GCB è uguale all'angolo DFE. Ma l'angolo DFE è stato supposto uguale all'angolo ACB. L'angolo BCG è quindi uguale all'angolo BCA, il minore uguale al maggiore, che è impossibile.

Non si da quindi il caso che AB sia disuguale a DE. É quindi uguale.

Ma anche BC è uguale a EF. I due lati AB e BC sono quindi rispettivamente uguali ai due lati DE e EF, e l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF. La base AC è quindi uguale alla base DF, e il restante angolo BAC è uguale al restante angolo EDF.

Di nuovo siano uguali i lati i lati opposti agli angoli uguali, come AB a DE: dico che anche i restanti lati saranno uguali ai restanti lati, cioè AC a DF e BC a EF, e inoltre il restante angolo angolo BAC uguale al restante angolo EDF.

Se BC non è uguale a EF, allora uno di essi è maggiore.

Sia BC il maggiore, se possibile. Si prenda BH uguale a EF (Prop.1-3) e si congiunga AH.

Poiché BH è uguale a EF, e AB è uguale a DE, i due lati AB e BH sono rispettivamente uguali ai due lati DE e EF, ed essi comprendono angoli uguali; la base AH è quindi uguale alla base DF, il triangolo ABH è uguale al triangolo DEF, e i restanti angoli uguali ai restanti angoli, cioè quelli opposti ai lati uguali (Prop.1-4). L'angolo BHA è quindi uguale all'angolo EFD. Ma l'angolo EFD è uguale all'angolo BCA, pertanto, nel triangolo AHC, l'angolo esterno BHA è uguale all'interno e opposto BCA (Prop.1-16), che è impossibile.

Non si da quindi il caso che BC sia disuguale a EF. É quindi uguale.

Ma anche AB è uguale a DE. I due lati AB e BC sono quindi rispettivamente uguali ai due lati DE e EF, ed essi comprendono angoli uguali. La base AC è quindi uguale alla base DF, il triangolo ABC è uguale al triangolo DEF, e il restante angolo BAC al restante angolo EDF.

Se quindi due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali a due angoli e un solo lato, o quello agli angoli uguali oppure quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, avranno anche i restanti lati rispettivamente uguali ai restanti lati, e il restante angolo al restante angolo.

La costruzione con GeoGebra ripete le modalità presentate nelle precedenti Proposizioni per la costruzione di triangoli uguali.

In questo teorema vi sono due enunciati che differiscono solo per le ipotesi. In uno, il lato noto si trova tra due angoli, nell'altro è opposto.

Il primo enunciato è noto come secondo criterio di congruenza dei triangoli, assieme agli altri Prop1.4 (lato-angolo-lato), Prop1.8 (lato-lato-lato). Euclide non usa però il concetto di congruenza.

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-34 e in numerose altre nei successivi Libri.