LIBRO I
Prop. 25: Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno la base maggiore della base, avranno anche l'angolo, quello compreso dalle due rette uguali, maggiore dell'angolo
Dimostrazione
Siano dati due triangoli ABC e DEF che hanno i due lati AB e AC rispettivamente uguali ai due lati DE e DF, cioè AB uguale a DE e AC uguale a DF; e la base BC sia maggiore della base EF: dico che anche l'angolo BAC è maggiore dell'angolo EDF.
Se infatti no, o è uguale ad esso oppure minore.
Ora l'angolo BAC non è uguale all'angolo EDF: anche la base BC sarebbe uguale a EF, ma non è così. L'angolo BAC non è quindi uguale all'angolo EDF (Prop.1-4). Non si dà quindi il caso che l'angolo BAC sia minore dell'angolo EDF; anche la base BC sarebbe minore della base EF, ma non è così. Pertanto l'angolo BAC non è minore dell'angolo EDF (Prop.1-24).
Ma è stato dimostrato che neanche è uguale. L'angolo BAC è quindi maggiore dell'angolo EDF.
Se due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno la base maggiore della base, avranno anche l'angolo, quello compreso dalle due rette uguali, maggiore dell'angolo.
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Punto: traccia il punto D esterno al triangolo
- Semiretta: disegna una semiretta di origine D
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio AB, che interseca la prima semiretta in E
- Semiretta: disegna un'atra semiretta di origine D
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio AC, che interseca la seconda semiretta in F
- Triangolo: disegna il triangolo EDF
Questa proposizione e la precedente affermano che se due triangoli hano due lati rispettivamente uguali, allora la base è maggiore della base se e solo se l'angolo compreso tra i due lati uguali uno è maggiore dell'altro.
Questa proposizione non è più utilizzata nel Libro I.