LIBRO I
Prop. 13: Se una retta che sta su una retta forma angoli, farà o due angoli retti oppure uguali a due retti
Dimostrazione
La retta data AB che sta sulla retta CD formi gli angoli CBA e ABD: dico che gli angoli CBA e ABD sono due angoli retti oppure uguali a due retti.
Se l'angolo CBA è uguale all'angolo ABD, allora essi sono due angoli retti (Def.10). Ma, se non è così, si tracci BE dal punto B ad angoli retti con la retta CD. Gli angoli CBE e EBD sono quindi uguali a due angoli retti (Prop.1-11).
Poiché l'angolo CBE è uguale alla somma dei due angoli CBA e ABE, si sommi l'angolo EBD ad ognuno, la somma degli angoli CBE e EBD è quindi uguale alla somma dei tre angoli CBA, ABE e EBD (NC2).
Di nuovo, poiché l'angolo DBA è uguale alla somma dei due angoli DBE e EBA, si sommi l'angolo ABC ad ognuno, la somma degli angoli DBA e ABC è quindi uguale alla somma dei tre angoli DBE, EBA e ABC (NC1).
Ma la somma degli angoli CBE e EBD è stata dimostrata uguale alla somma degli stessi tre angoli, e gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro; anche la somma degli angoli CBE e EBD è quindi uguale alla somma degli angoli DBA e ABC. Ma gli angoli CBE e EBD sono due angoli retti, anche la somma degli angoli DBA e ABC è quindi uguale a due angoli retti (NC1).
Se quindi una retta che sta su una retta forma angoli, farà o due angoli retti oppure uguali a due retti.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta CD
- Punto: traccia il punto B sulla retta CD
- Semiretta: disegna la semiretta AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare EB alla retta CD (questo comando riassume la costruzione di una retta perpendicolare ad una data passante per un punto sulla retta data della Prop.1-11)
Con questa proposizione Euclide introduce quella che chiamiamo l'aritmetica delle grandezze geometriche; in particolare si mostra il significato di addizione di angoli.
Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione delle prossime due proposizioni.