LIBRO I
Prop. 12: Condurre una linea retta perpendicolare alla retta illimitata data dal punto dato, che non è su di essa
Dimostrazione
Siano dati la retta illimitata AB e il punto C che non è su di essa: si deve pertanto condurre dal punto dato C una linea retta perpendicolare alla retta illimitata data AB.
Si prenda un punto arbitrario D dall'altra parte della retta AB e si tracci il cerchio EFG con centro C e raggio CD (Post.3). Si sechi a metà la retta EG in H (Prop.1-10) e si congiungano le rette CG, CH e CE (Post.1).
Dico che CH è stato condotto perpendicolare alla retta illimitata data AB dal punto dato C che non è su di essa.
Poiché GH è uguale a HE, e HC è in comune, i due lati GH e HC sono quindi rispettivamente uguali ai due lati EH e HC e la base CG è uguale alla base CE (Prop.1-8). L'angolo CHG è quindi uguale all'angolo EHC e essi sono angoli consecutivi.
E quando una retta che sta su una retta forma angoli consecutivi uguali tra loro, ognuno degli angoli uguali è retto, e la retta che sta su è chiamata perpendicolare a quella su cui sta (Def.10).
Risulta quindi quindi condotta una retta CH perpendicolare alla retta illimitata data AB dal punto dato C che non è su di essa..
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta AB
- Punto: traccia il punto C esterno alla retta AB e il punto D dall'altra parte di AB rispetto a C
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro C e raggio CD, che interseca AB nei punti E e G
- Segmento: disegna il segmento EG
- Punto Medio: traccia il punto medio H del segmento EG (riassume la Prop.1-10)
- Segmento: disegna i segmenti CE e CG
- Retta: disegna la retta per CH, che è la perpendicolare cercata
In questa proposizione si costruisce la retta perpendicolare ad una data passante per un punto qualsiasi, esterno alla retta data. (Mediante l'uso di Geogebra è possibile sostituire le costruzioni euclidee con le funzioni specifiche, che riassumono, come se fossero delle macro, tali costruzioni)
La costruzione di questa proposizione non è utilizzata nel Libro I.