LIBRO I
Prop. 11: Condurre una linea retta ad angoli retti con la retta data dal punto dato su di essa
Dimostrazione
Siano dati la retta AB e il punto C su di essa: si deve pertanto condurre dal punto C una linea retta ad angoli retti con la retta AB.
Si prenda un punto arbitrario D su AC. Si ponga CE uguale a CD (Prop.1-3). Si costruisca il triangolo equilatero FDE su DE (Prop.1-1), e si congiunga CF (Post.1).
Dico che la retta CF risulta condotta ad angoli retti con la retta data AB dal punto C dato su di essa.
Poiché CD è uguale a CE, e CF in comune, i due lati CD e CF sono quindi uguali rispettivamente ai due lati CE e CF, e la base DF è uguale alla base EF. L'angolo DCF è quindi uguale all'angolo ECF (Prop.1-8), ed essi sono angoli consecutivi (Def.20).
E quando una retta che sta su una retta forma gli angoli consecutivi uguali tra loro, ognuno degli angoli uguali è retto, ognuno degli angoli DCF e FCE è quindi retto (Def.10).
Una linea retta FC risulta quindi condotta ad angoli retti con la retta data AB dal punto dato C su di essa..
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta AB
- Punto: traccia il punto C sulla retta AB e il punto D interno al segmento AC
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro C e raggio CD, che interseca la retta nell'altro punto E, in modo che CD=CE
- ripetere la costruzione del triangolo equilatero della Prop.1-1 sul lato DE
- strong>Retta: disegna la retta per CF
>Questa e la successiva proposizione costruiscono la perpendicolare ad una retta data passante per un punto. In questa proposizione si affronta il caso il cui il punto appartiene alla retta di cui si vuole tracciare la perpendicolare.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.1-13, Prop.1-46 e Prop.1-48.