LIBRO I
Prop. 48: Se il quadrato su uno solo dei lati di un triangolo è uguale ai quadrati sui restanti due lati del triangolo, l'angolo compreso dai restanti due lati del triangolo è retto
Dimostrazione
Il quadrato su un solo lato BC di un triangolo ABC sia infatti uguale ai quadrati sui lati BA e AC: dico che l'angolo BAC è retto.
Si conduca dal punto A ad angoli retti con la retta AC la retta AD (Prop.1-11), posta uguale ad AD (Prop.1-.3), e si congiunga D con C.
Poiché DA è uguale a AB, anche il quadrato su DA è uguale al quadrato su AB. Si sommi il quadrato su AC comune: la somma dei quadrati su DA, AC è uguale alla somma dei quadrati su BA, AC (NC2).
Ma uguale alla somma su DA e AC è quello su DC, l'angolo DAC è infatti retto, quello su BC è uguale alla somma di quelli di BA e AC (Prop.1-47), è infatti stato supposto: il quadrato su DC è quindi uguale al quadrato su BC: così che anche il lato DC è uguale a AB.
E poiché DA è uguale a AB, e AC comune, le due rette DA, AC sono pertanto uguali a due BA, AC; e la base DC è uguale alla base BC: l'angolo DAC è quindi uguale all'angolo BAC (Prop.1-8). E DAC è retto: anche BAC è quindi retto.
Qualora quindi il quadrato su uno solo dei lati di un triangolo sia uguale alla somma dei quadrati sui restanti lati del triangolo, l'angolo compreso dai due lati restanti del triangolo è retto.
La costruzione con GeoGebra
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare ad AB passante per A
- Semiretta: disegna la semiretta BA
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AB, che interseca la semiretta BA, dalla parte opposta di A rispetto a B, nel punto
- Poligono: disegna il triangolo ABC con vertice C sulla perpendicolare
- Segmento: disegna i segmenti AD e CD (nascondi le parti della costruzione)
Questa proposizione è l'inversa della precedente ed è applicata nel Libro XI.