LIBRO I
Prop. 47: Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai quadrati sui lati che comprendono l'angolo retto
Dimostrazione
Sia ABC un triangolo rettangolo con l'angolo BAC retto: dico che il quadrato su BC è uguale alla somma dei quadrati su BA e AC.
Si descriva infatti su BC un quadrato BDEC (Prop.1-46), su BA e AC i quadrati GB e HC, e per A si conduca la parallela AL a uno o all'altra delle BD, CE (Prop.1-31); si congiunga A con D e F con C (Post.1).
E poiché l'uno e l'altro degli angoli BAC e BAG è retto, su una certa retta BA e su un punto A su di essa due rette AC e AG che non sono poste dalla stessa parte formano pertanto angoli consecutivi la cui somma è uguale a due retti (Prop.1-14): CA è quindi allineato con AG. Per gli stessi motivi anche BA è allineato con AH.
E poiché l'angolo ABC è uguale all'angolo FBA, entrambi retti (Def1-22), si sommi ABC comune: DBA totale è quindi uguale a FBC totale. E poiché DB è uguale a BC e FB a BA, due rette DB, BA sono pertanto rispettivamente uguali a due rette FB, BC; e l'angolo DBA è uguale all'angolo FBC: la base AD è quindi uguale alla base FC, e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC (Prop.1-4).
E doppio del triangolo ABD è il parallelogrammo BL, hanno infatti la stessa base BD e sono nelle stesse parallele BD, AL; e doppio del triangolo FBC è il quadrato GB, hanno di nuovo la stessa base FB e sono nelle stesse parallele FB, GC (Prop.1-41). E i doppi degli uguali sono anche uguali tra loro. Il parallelogrammo BL è quindi uguale al quadrato GB.
Analogamente, congiunte AE, BK, anche il parallelogrammo CL si dimostrerà uguale al quadrato HC; il quadrato BDEC totale è quindi uguale ai due quadrati GB, HC (NC2). Ed è il quadrato BDEC descritto su BC, e GB, HC su BA, AC. Il quadrato sul lato BC è quindi uguale alla somma dei quadrati sui lati BA e AC.
Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto, è uguale alla somma dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo retto.
La costruzione con GeoGebra
- Segmento: disegna il segmento AB
- Semicirconferenza per due Punti: disegna la semicirconferenza di diametro AB
- Poligono: disegna il triangolo ABC con vertice C sulla semicirconferenza, che risulterà rettangolo
- Poligono regolare: disegna i tre quadrati sui lati del triangolo ABC
- Parallela: disegna la parallela passante per A al lato BD
- Segmento: disegna i segmenti AL, FC, AD, AE
Questa proposizione è generalizzata nel Libro VI per figure arbitrarie poste sui lati di un triangolo ABC. Se i poligoni sui lati del triangolo sono simili, allora quello sull'ipotenusa è la somma degli altri due poligoni.
Questa proposizione è nota come "Terorema di Pitagora". Tale teorema è estremamente noto e su di esso si possono trovare in rete numerose altre informazioni oltre che molte altre dimostrazioni.
Questa trasformazione è usata nella prossima proposizione.
Del cosiddetto teorema di Pitagora sono state date numerose dimostrazioni alternative anche di carattere grafico. Questa sotto ne è un esempio.