LIBRO I

Prop. 17: In ogni triangolo la somma di due angoli qualunque è minore di due retti

Dimostrazione

Sia dato un triangolo ABC: dico che la somma di due angoli qualunque del triangolo ABC è minore di due angoli retti.

Si prolunghi BC fino a D (Post.2).

Poiché l'angolo ACD è un angolo esterno del triangolo ABC, allora è maggiore dell'angolo interno ed opposto all'angolo ABC. Si sommi l'angolo ACB ad ognuno. La somma degli angoli ACD e ACB è quindi maggiore della somma degli angoli ABC e BCA (Prop.1-16). Ma la somma degli angoli ACD e ACB è uguale a due retti (Prop.1-13). Analogamente si può dimostrare che anche la somma degli angoli BAC e ACB è minore della somma degli angoli CAB e ABC.

In ogni triangolo la somma di due angoli qualunque è minore di due retti

La costruzione con GeoGebra:
  • Triangolo: disegna il triangolo ABC
  • Semiretta: disegna la semiretta che prolunga BC

La parte della dimostrazione "... l'angolo ACD ... è maggiore dell'angolo interno e opposto ABC. Si sommi l'angolo ACB ad ognuno. La somma degli angoli ACD e ACB è quindi maggiore della somma degli angoli ABC e BCA" utilizza la proprietà se x > y, aallora x + z > y + z. Questa proprietà non è indicata nelle Nozioni Comuni.

Questa proposizione sarà poi rafforzata, dimostrando che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti.
Questa proposizione è utilizzata nel Libro III.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello