LIBRO I
Prop. 18: Il lato maggiore di ogni triangolo sottende l'angolo maggiore
Dimostrazione
Sia dato un triangolo ABC che ha il lato AC maggiore di AB: dico che anche l'angolo ABC è maggiore di BCA.
Poiché AC è maggiore di AB, si ponga AD uguale ad AB (Prop.1-2) e si congiunga BD. E poiché l'angolo ADB è un angolo esterno al triangolo BCD, allora è maggiore dell'angolo interno e opposto DCB (Prop.1-16).
Ma l'angolo ADB è uguale all'angolo ABD, poiché il lato AB è uguale a AD (Prop.1-5); anche l'angolo ABD è quindi maggiore dell'angolo ACB. L'angolo ABC è quindi molto maggiore dell'angolo ACB.
Il lato maggiore di ogni triangolo sottende quindi l'angolo maggiore
La costruzione con GeoGebra:
- Triangolo: disegna il triangolo ABC con AC > AB
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AB, che interseca il lato AC in D, cosicché AB=AD
- Segmento: disegna il segmento BD
Il testo, nell'ordine delle parole, si discosta un poco dalla traduzione letterale per rendere più agevole la lettura, tenendo conto delle attuali modalità di presentazione di queste proprietà.
Questa proposizione è utilizzata nella successiva.