LIBRO III
Prop.7: Qualora sul diametro di un cerchio sia preso un certo punto che non è centro del cerchio, e dal punto incidano sul cerchio certe rette, massima sarà quella su cui è il centro, minima la parte restante, delle altre, in successione la più vicina a quella per il centro è maggiore di quella più lontana, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD di centro E, un suo diametro AD, e su AD si prenda un punto F che non è centro del cerchio, e da F incidano sul cerchio ABCD le rette FB, FC, FG: dico che massima è FA, minima FD, e delle altre FB è maggiore di FC, e FC è maggiore di FG.
Si congiungano BE, CE e GE. Poiché in ogni triangolo la somma di due lati qualsiasi è maggiore del restante, la somma di EB e EF è maggiore di BF (Prop.1-20). Ma AE è uguale a BE; AF è quindi maggiore di BF.
Di nuovo, poiché BE è uguale a CE, e FE è in comune, i due lati BE e EF sono uguali ai due lati CE e EF. Ma anche l'angolo BEF è maggiore dell'angolo CEF, la base BF è quindi maggiore della base CF (Prop.1-24). Per gli stessi motivi anche CF è maggiore di GF.
Di nuovo, poiché la somma di GF e FE è maggiore di EG, e EG è uguale a ED, la somma di GF e FE è maggiore di ED (Prop.1-20). Si sottragga EF da ognuno. Il restante GF è quindi maggiore del restante FD. Pertanto il punto F non è il centro dei cerchi ABC e CDE. FA è quindi il maggiore, FD il minore, FB è maggiore di FC e FC è maggiore di FG.
Dico anche che solo due rette uguali incidono dal punto F sul cerchio ABCD da una e dall'altra parte di quella minima FD.
Si costruisca l'angolo FEH uguale all'angolo GEF sulla retta EF e nel punto E su di essa (Prop.1-23). Si congiunga FH.
Poiché GE è uguale a EH e EF è in comune, i due lati GE e EF sono uguali ai due lati HE e EF, e l'angolo GEF è uguale all'angolo HEF; la base FG è quindi uguale alla base FH (Prop.1-4).
Dico ora che un'altra retta uguale a FG non incide sul cerchio dal punto F.
Se infatti possibile, incida FK. Poiché FK è uguale a FG e FH è uguale a FG, anche FK è uguale a FH, la più vicina alla retta per il centro uguale a quella più lontana, il che è impossibile. Pertanto un'altra retta uguale a GF non inciderà dal punto F sul cerchio. Vi è quindi solo una retta che incide.
Qualora quindi sul diametro di un cerchio sia preso un certo punto che non è centro del cerchio, e dal punto incidano sul cerchio certe rette, massima sarà quella su cui è il centro, minima la parte restante, delle altre, in successione la più vicino a quella per il centro è maggiore di quella più lontano, e soltanto due rette uguali incideranno dal punto sul cerchio da una e dall'altra parte di quella minima.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- costruisci il centro E della circonferenza
- Segmento: traccia il diametro AD e su di esso si prenda un punto F
- Segmento: disegna i segmenti FB, FC, FG, EB EC, EG
- Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo DEH uguale a FEG
- Segmento: disegna i segmenti EH, FH
- Punto: traccia il punto K sulla circonferenza
- Segmento: disegna i segmenti EK e FK
Questa proposizione non è più utilizzata.