Elementi di Euclide

Prop.25: Dato un segmento di cerchio descrivere oltre il cerchio di cui è segmento

Dimostrazione

Sia dato il segmento di cerchio ABC: si deve pertanto, descrivere oltre l'intero cerchio di cui il segemnto ABC è segmento.

Si sechi a metà AC in D (Prop.1-10), si conduca DB dal punto D ad angoli retti ad AC (Prop.1-11), e si congiunga AB. L'angolo ABD è allora maggiore, minore o uguale all'angolo BAD.

Sia in primo luogo maggiore.

Si costruisca l'angolo BAE sulla retta BA, e sul punto A di essa, uguale all'angolo ABD (Prop.1-23). Si conduca oltre DB fino a E e si congiunga EC.

Poiché dunque l'angolo ABE è uguale all'angolo BAE, anche la retta EB è uguale a EA (Prop.1-6). E poiché AD è uguale a DC, e DE è in comune, i due lati AD e DE sono uguali rispettivamente ai due lati CD e DE, e l'angolo ADE è uguale all'angolo CDE, uno e l'altro è infatti retto, la base AE è quindi uguale alla base CE (Prop.1-4). Ma AE è stato dimostrato uguale a BE, e quindi uguale anche a CE. Le tre rette AE, EB, EC sono quindi uguali tra loro.

Pertanto il cerchio tracciato di centro E e raggio una delle rette AE, EB, o EC passa pure per i rimanenti punti e risulta quindi descritto oltre (Prop.3-9). Pertanto, dato un segmento di cerchio, è stato descritto oltre il cerchio completo.

Ed è manifesto che il segmento ABC è minore di un semicerchio, poiché il centro E capita all'esterno di esso.

Similmente anche se l'angolo ABD è uguale all'angolo BAD e AD, essendo AD uguale a una e all'altra delle BD e DC, le tre rette DA, DB, DC saranno uguali tra loro, D sarà il centro del cerchio descritto oltre, e ABC sarà chiaramente un semicerchio.

Ma se invece l'angolo ABD è minore dell'angolo BAD, e se costruiamo, sulla retta BA e sul punto A su di essa, un angolo uguale all'angolo ABD (Prop.1-23), il centro su DB cadrà all'interno del segmento ABC, e il segmento ABC sarà chiaramente maggiore di un semicerchio.

Dato un segmento di cerchio risulta quindi descritto oltre il cerchio di cui è segmento.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E
• Segmento: disegna la corda AC
• Arco di centro dato per due punti: disegna l'arco ABC
• Punto Medio: traccia il punto medio D della corda AC
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare per D alla corda che incontra l'arco in B
• Segmento: disegna il segmento AB

Questa costruzione non è più utilizzata nel resto degli Elementi.