LIBRO III
Prop.24: I segmenti simili di cerchi su rette uguali sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano infatti dati i segmenti di cerchio simili AEB e CFD, su rette uguali AB, CD: dico che il segmento AEB è uguale al segmento CFD. Si sovrapponga infatti il segmento AEB al segmento CFD, e se il punto A è posto su C e la retta AB su CD, allora il punto B coincide con il punto D, AB è infatti uguale a CD, e, coincidendo AB con CD, anche il segmento AEB coincide con CFD.
Se infatti la retta AB coincide con CD ma il segmento AEB non coincide con CFD, allora o cade all'interno, o all'esterno, oppure si discosterà, come CGD (Prop.3-23), e un cerchio seca un cerchio in più di due punti, il che è impossbile (Prop.3.10).
Pertanto, sovrapposta la retta AB a CD, non si dà il caso che anche il segmento AEB non si sovrapponga al segmento CFD: quindi non si sovrapporrà, e sarà uguale ad esso.
I segmenti simili di cerchi su rette uguali sono quindi uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza AEB
- Segmento: disegna la corda AB
- Arco per due punti e centro: disegna l'arco AEB
- Vettore: disegna un vettore verticale
- Traslazione: trasla il segmento AB e l'arco AEB del vettore; si otterrà il segmento circolare CFD
- Punti: traccia il punto G sull'arco e due altri punti esteri al segmento
- Conica per cinque punti: disegna la conica passante per C,G,D e i due punti scelti
Questa dimostrazione utilizza il metodo della sovrapposizione come nel Libro I.