LIBRO III
Prop.10: Un cerchio non seca un cerchio in più di due punti
Dimostrazione
Se possibile, un cerchio ABC sechi il cerchio DEF in più di due punti, cioè B, G, F, e H.
Si congiungano BH e BG, e si sechino a metà nei punti K e L (Prop.1-10). Si conducano le rette KC e LM da K e da L ad angoli retti a BH e BG (Prop.1-11) e si prolunghino fino ai punti A ed E.
Poiché nel cerchio ABC una retta AC seca a metà una retta BH e ad angoli retti, il centro del cerchio ABC si trova su AC. E poiché nello stesso cerchio ABC una retta NX seca una retta BG a metà e ad angoli retti, il centro del cerchio ABC si trova su NX (Prop.3-1).
Ma è stato dimostrato trovarsi su AC, e le rette AC e NX si incontrano solo nel punto O; pertanto il punto O è il centro del cerchio ABC. In modo simile si dimostra che O è anche il centro del cerchio DEF; i due cerchi ABC e DEF che si secano tra loro hanno lo stesso centro O, il che è impossibile.
Non si dà quindi il caso che un cerchio sechi un cerchio in più di due punti.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- Punto: traccia i punti F, G, H sulla circonferenza
- Segmento: disegna le corde BG e BH
- Punto Medio: traccia il punto medio di BG, L e quello di BH, K
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari alle due corde per i loro punti medi; esse si incontrano nel centro O; le perpendicolari intersecano il cerchio ABC in A, C e N, X
- Punto: sulla perpendicolare NX oltre il cerchio traccia i punti E e M
- Conica: disegna la conica passante per i punti BEGFH
La figura in questo caso è una figura impossibile. Entrambe le curve sono supposte essere circonferenze di cerchi, ma non possono essere entrambe tracciate con uno stesso centro, come mostra la dimostrazione. Sebbene Euclide introduca quattro punti, solo tre di essi sono considerati nella dimostrazione.
La dimostrazione in realtà mostra che due cerchi non si possono intersecare in più di due punti, dove "intersecare" vale anche nel caso di punti di tangenza.
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-24.