Elementi di Euclide

Prop. 6: Se due angoli di un triangolo sono uguali tra loro, anche i lati che si tendono sotto gli angoli uguali sono uguali tra loro

Dimostrazione

Sia ABC un triangolo che ha l'angolo ABC uguale all'angolo ACB: dico che anche il lato AB è uguale al lato AC.

Se infatti AB è disuguale a AC, l'uno o l'altro di essi è maggiore (NC). Sia AB il maggiore.

Si sottragga dalla maggiore AB una retta DB uguale alla minore AC (Prop.1-3), e si congiunga DC (Post.1).

Poiché DB è uguale a AC e BC è in comune, i due lati DB e BC sono quindi rispettivamente uguali ai due lati AC e CB, e l'angolo DBC è uguale all'angolo ACB. La base DC è quindi uguale alla base AB, e il triangolo DBC è uguale al triangolo ACB (Prop.1-4), il minore al maggiore, il che è assurdo. AB non è quindi disuguale a AC, esso è pertanto uguale ad esso. (NC5).

Se quindi i due angoli di un triangolo sono uguali tra loro, anche i lati che si tendono sotto gli angoli uguali sono uguali tra loro..

La costruzione con GeoGebra:

• Punto: traccia il punto A
• Semiretta: disegna due semirette di origine A
• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio a piacere, che interseca le semirette rispettivamente in B e C
• Poligono: disegna il triangolo ABC, che sarà isoscele
• Punto: traccia il punto D su AB
• Segmento: disegna il segmento CD

Questa è la proposizione inversa di una parte della precedente proposizione 1.5. La proposizione 1.6 afferma che se l'angolo B è uguale all'angolo C, allora il lato AB è uguale al lato AC.

In generale, l'inversa di una proposizione, che assume la forma "Se P, allora Q", è la proposizione "Se Q, allora P". Quando entrambe queste proposzioni sono vere, Euclide tende a dimostrare l'inversa subito dopo la proposizione.

Questa è la prima "dimostrazione per assurdo" negli Elementi. Qui, per dimostrare che AB è uguale a AC, Euclide assume prima che siano diversi ottenendone una contraddizione, cioè una conclusione che contraddice la NC5, cioè che l'intero deve essere maggiore della parte.

La dimostrazione usa quella che oggi chiamiamo la "legge di tricotomia", cioè che, dati due elementi, tra essi può valere una relazione o solo di maggioranza, o solo minoranza o solo di uguaglianza. Se una di queste è vera, le altre non lo sono.

Questa proposizione non è più utilizzata nel Libro I, ma trova applicazione nei Libri II, III, IV, V, VI, XIII.