LIBRO III
Prop.22: Gli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi sono uguali a due retti
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD e in esso sia un quadrilatero ABCD: dico che gli angoli opposti sono uguali a due retti.
Si congiungano AC e BD.
Poiché quindi in ogni triangolo la somma dei tre angoli è uguale a due retti, la somma dei tre angoli CAB, ABC, BCA del triangolo sono uguali a due retti (Prop.1-32).
Ma l'angolo CAB è uguale all'angolo BDC, sono infatti nello stesso segmento BADC, e l'angolo ACB è uguale all'angolo ADB, sono infatti nello stesso segmento ADBC (Prop.3.21), l'angolo totale ADC è quindi uguale alla somma degli angoli BAC e ACB.
Si sommi l'angolo ABC ad entrambi. La somma degli angoli ABC, BAC, ACB è quindi uguale alla somma degli angoli ABC e ADC. Ma la somma degli angoli ABC, BAC, ACB è uguale a due retti; la somma degli angoli ABC e ADC è quindi uguale a due retti.
Analogamente si dimostra che anche la somma degli angoli BAD e DCB è uguale a due retti.
Gli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi sono quindi uguali a due retti.
La costruzione con GeoGebra:
- Punti: traccia i punti A, B, C
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- Punto: segna il punto D sulla circonferenza
- Poligono: disegna il quadrilatero
Questa proposizione è usata nella Prop 3.32.