LIBRO III

Prop.22: Gli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi sono uguali a due retti

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCD e in esso sia un quadrilatero ABCD: dico che gli angoli opposti sono uguali a due retti.

Si congiungano AC e BD.

Poiché quindi in ogni triangolo la somma dei tre angoli è uguale a due retti, la somma dei tre angoli CAB, ABC, BCA del triangolo sono uguali a due retti (Prop.1-32).

Ma l'angolo CAB è uguale all'angolo BDC, sono infatti nello stesso segmento BADC, e l'angolo ACB è uguale all'angolo ADB, sono infatti nello stesso segmento ADBC (Prop.3.21), l'angolo totale ADC è quindi uguale alla somma degli angoli BAC e ACB.

Si sommi l'angolo ABC ad entrambi. La somma degli angoli ABC, BAC, ACB è quindi uguale alla somma degli angoli ABC e ADC. Ma la somma degli angoli ABC, BAC, ACB è uguale a due retti; la somma degli angoli ABC e ADC è quindi uguale a due retti.

Analogamente si dimostra che anche la somma degli angoli BAD e DCB è uguale a due retti.

Gli angoli opposti dei quadrilateri nei cerchi sono quindi uguali a due retti.

La costruzione con GeoGebra:
  • Punti: traccia i punti A, B, C
  • Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
  • Punto: segna il punto D sulla circonferenza
  • Poligono: disegna il quadrilatero

Questa proposizione è usata nella Prop 3.32.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello