LIBRO III
Prop.32: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza sia condotta oltre nel cerchio una certa retta che seca il cerchio, gli angoli che fa su quella tangente saranno uguali agli angoli nei segmenti alterni del cerchio
Dimostrazione
Sia data una retta EF tangente a un cerchio ABCD nel punto B, e dal punto B sia condotta oltre nel cerchio ABCD una retta BD che lo sechi: dico che gli angoli che BD forma con la tangente EF saranno uguali agli angoli nei segmenti alterni del cerchio, cioè che l'angolo FBD è uguale all'angolo costruito nel segmento BAD, e l'angolo EBD è uguale all'angolo costruito nel segmento ACB.
Si conduca BA da B ad angoli retti con EF (Prop.1-11), si prenda un punto C come capita sulla circonferenza BD, e si congiungano AD, DC, CB.
E poich&é una retta EF è tangente al cerchio ABCD in B, e BA è stata condotta dal punto di tangenza ad angoli retti con la tangente, il centro del cerchio ABCD sta su BA (Prop.3-19). Pertanto BA è il diametro del cerchio ABCD. L'angolo ADB, essendo un angolo in un semicerchio, è quindi retto (Prop.3-31). La somma degli angoli restanti BAD e ABD è quindi uguale a un angolo retto (Prop.1-32).
Ma anche l'angolo ABF è retto; l'angolo ABF è quindi uguale alla somma degli angoli BAD e ABD. Si sottragga l'angolo ABD da ognuno. L'angolo restante DBF è quindi uguale all'angolo BAD nel segmento alterno del cerchio.
E poich&é ABCD è un quadrilatero in un cerchio, la somma degli angoli opposti è uguale a due angoli retti (Prop.3-22). Ma la somma degli angoli DBF e DBE è pure uguale a due retti, pertanto la somma degli angoli DBF e DBE è uguale alla somma degli angoli BAD e BCD, dei quali l'angolo BAD è stato dimostrato uguale all'angolo DBF; l'angolo restante DBE è quindi uguale all'angolo DCB nel segmento alterno DCB del cerchio.
Qualora quindi una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza sia condotta oltre nel cerchio una certa retta che seca il cerchio, gli angoli che fa su quella tangente saranno uguali agli angoli nei segmenti alterni del cerchio.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna la retta EBF
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta nel punto B
- Segmento: disegna il segmento AB sulla perpendicolare
- Punto Medio: traccia il punto medio di AB
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD con centro nel punto medio
- Segmento: disegna le corde AD, DC, BC
Questa proposizione è utilizzata nelle due proposizioni successive e nel Libro IV.