LIBRO III
Prop.19: Qualora una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza ad angoli retti con quella tangente sia condotta una retta, il centro del cerchio sarà sulla retta condotta
Dimostrazione
Sia la retta DE tangente al cerchio ABC nel punto C e da C ad angoli retti con DE si conduca una retta CA(Prop.1-11): dico che il centro del cerchio è su AC.
No infatti, ma se possibile, sia F il centro e si congiunga CF.
Poiché una retta DE è tangente al cerchio ABC, e FC è stata tracciata dal centro al punto di tangenza, FC è perpendicolare a DE. Pertanto l'angolo FCE è retto (Prop.3-18). Ma anche l'angolo ACE è retto, l'angolo FCE è quindi uguale all'angolo ACE, il minore al maggiore, il che è impossibile. Pertanto F non è il centro del cerchio ABC.
Analogamente si dimostra che neanche un altro punto eccetto che su AC.
Qualora quindi una certa retta sia tangente a un cerchio, e dal punto di tangenza ad angoli retti con quella tangente sia condotta una retta, il centro del cerchio sarà sulla retta condotta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento DE
- Punto: traccia un punto C su DE
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare per C a DE
- Circonferenza: disegna la circonferenza con centro sulla perpendicolare e passante per C
- Segmento: disegna il segmento FC
Questa proposizione è usata nella Prop 3.32.