LIBRO III
Prop.20: In un cerchio un angolo sul centro è doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC e siano dati un angolo al suo centro BEC e sulla circonferenza BAC e abbiano come base lo stesso arco BC: dico che l'angolo BEC è doppio di BAC.
Si congiunga AE e la si conduca oltre fino a F.
Poiché EA è uguale a EB, anche l'angolo EAB è uguale all'angolo EBA (Prop.1-5). Pertanto la somma degli angoli EAB e EBA è doppia dell'angolo EAB. Ma l'angolo BEF è uguale alla somma degli angoli EAB e EBA (Prop.1-32), l'angolo BEF è quindi doppio dell'angolo EAB.
Per gli stessi motivi l'angolo FEC è doppio dell'angolo EAC. Pertanto l'angolo totale BEC è doppio dell'angolo totale BAC.
Sia ora inflessa di nuovo e sia un altro angolo BDC. Si congiunga DE e la si prolunghi fino a G. Analogamente si dimostra che l'angolo GEC è doppio dell'angolo EDC, dei quali l'angolo GEB è doppio dell'angolo EDB. L'angolo restante BEC è quindi doppio dell'angolo BDC.
In un cerchio un angolo sul centro è quindi doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro E
- Segmento: disegna le corde e i raggi AB, AC, BE e BC
- Semiretta: disegna la semiretta AE che interseca la circonferenza in F
- Punto: segna il punto D sulla circonferenza
- Semiretta: disegna la semiretta DE che interseca la circonferenza in G
- Segmento: disegna le nuove corde AB, DC
Questa proposizione è usata nella Prop.3.27.