LIBRO III
Prop.21: In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono uguali tra loro
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD e nello stesso segmento BAED siano angoli BAD, BED: dico che gli angoli BAD e BED sono uguali tra loro.
Si prenda il centro F del cerchio ABCD (Prop.3-1) e si congiungano BF e FD.
E poiché l'angolo BFD è sul centro e l'angolo BAD sulla circonferenza, e hanno lo stesso arco BCD come base, allora l'angolo BFD è doppio dell'angolo BAD (Prop.3-20).
Per gli stessi motivi l'angolo BFD è pure doppio dell'angolo BED. L'angolo BAD è quindi uguale all'angolo BED.
In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono quindi uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Punti: traccia i punti A, B, C
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABCD
- trova il centro F, secondo la costruzione della Prop.3-1
- Punto: segna i punti D e E sulla circonferenza
- Segmento: disegna i raggi BF, FD e le corde BD, AB, AD, EB, ED
Questa proposizione è usata nella Prop.3.22.