LIBRO III

Prop.21: In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono uguali tra loro

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCD e nello stesso segmento BAED siano angoli BAD, BED: dico che gli angoli BAD e BED sono uguali tra loro.

Si prenda il centro F del cerchio ABCD (Prop.3-1) e si congiungano BF e FD.

E poiché l'angolo BFD è sul centro e l'angolo BAD sulla circonferenza, e hanno lo stesso arco BCD come base, allora l'angolo BFD è doppio dell'angolo BAD (Prop.3-20).

Per gli stessi motivi l'angolo BFD è pure doppio dell'angolo BED. L'angolo BAD è quindi uguale all'angolo BED.

In un cerchio gli angoli nello stesso segmento sono quindi uguali tra loro.

La costruzione con GeoGebra:
  • Punti: traccia i punti A, B, C
  • Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABCD
  • trova il centro F, secondo la costruzione della Prop.3-1
  • Punto: segna i punti D e E sulla circonferenza
  • Segmento: disegna i raggi BF, FD e le corde BD, AB, AD, EB, ED

Questa proposizione è usata nella Prop.3.22.

Prop 20   |   Prop 22
“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello