LIBRO III

Prop.33: Sulla retta data tracciare un segmento di cerchio capace di un angolo uguale all'angolo rettilineo dato

Dimostrazione

Sia data la retta AB e l'angolo rettilineo su C: si deve pertanto tracciare sulla retta data AB un segmento di cerchio capace di un angolo uguale a quello su C.

L'angolo in C è pertanto acuto, o retto, o ottuso.

Sia l'angolo acuto come nella prima figura.

Si costruisca l'angolo BAD uguale all'angolo in C sulla retta AB e nel punto A (Prop.1-23); anche l'angolo BAD è quindi acuto. Si tracci AE ad angoli retti a DA (Prop.1-12). Si sechi a metà AB in F (Prop.1-10). Si conduca FG dal punto F ad angoli retti ad AB, e si congiunga GB.

E poiché AF è uguale a FB, e FG è in comune, i due lati AF e FG sono uguali ai due lati BF e FG, e l'angolo AFG è uguale all'angolo BFG; la base AG è quindi uguale alla base BG (Prop.1-4). Pertanto il cerchio descritto di centro G e raggio GA passa per B. Si tracci e sia ABE, e si congiunga EB.

Poiché dunque da un estremo del diametro AE dal punto A è tracciata una retta AD ad angoli retti con AE, pertanto AD è tangente al cerchio ABE (Prop.3-16-Cor). Poiché quindi la retta AD è tangente al cerchio ABE, e dal punto di tangenza A una retta AB è stata tracciata nel cerchio ABE, l'angolo DAB è uguale all'angolo AEB nel segmento alterno del cerchio (Prop.3-32). Ma l'angolo DAB è uguale all'angolo in C, allora l'angolo in C è pure uguale all'angolo AEB.

Sulla retta data AB risulta quindi tracciato il segmento di cerchio AEB capace di un angolo AEB uguale a quello dato su C

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Sia ora l'angolo su C retto: si richiede ancora di tracciare su AB un segmento di cerchio capace di un angolo uguale all'angolo retto su C.

Si costruisca BAD uguale all'angolo retto su C (Prop.1-23), come nel caso della seconda figura. Si sechi a metà AB in F (Prop.1-10). Si descriva il cerchio AEB di centro F e raggio FA o FB. Pertanto la retta AD è tangente al cerchio ABE, poiché l'angolo su A è retto (Prop.3-16-Cor).

E l'angolo BAD è uguale all'angolo nel segmento AEB, è infatti retto essendo anch'esso in un semicerchio (Prop.3-31). Ma anche l'angolo BAD è uguale all'angolo su C; anche l'angolo AEB è quindi uguale all'angolo su C.

Risulta quindi tracciato di nuovo su AB un segmento di cerchio AEB capace di un angolo uguale a quello su C.

Sia ora l'angolo su C ottuso. Si costruisca l'angolo BAD uguale a C sulla retta AB e sul punto A (Prop.1-23), come nel caso della terza figura. Si tracci A e ad angoli retti ad AD (1-11). Si sechi a metà AB in F (1-10). Si conduca FG ad angoli retti ad AB (Prop.1-12)e si congiunga GB

E poiché di nuovo AF è uguale a FB, e FG è in comune, i due lati AF e FG sono uguali ai due lati BF e FG, e l'angolo AFG è uguale all'angolo BFG; la base AG è quindi uguale alla base BG (Prop.1-4). Il cerchio descritto di centro G e raggio GA passerà quindi per B; passi come AEB.

Ora, poiché AD è stato tracciato ad angoli retti al diametro AE da un suo estremo, AD è tangente al cerchio AEB (Prop.3-16-Cor). E AB è stato condotto dal punto di tangenza secondo A, l'angolo BAD è quindi uguale all'angolo costruito sel segmento alterno AHB del cerchio (Prop.3-32).

Ma l'angolo BAD è uguale all'angolo su C. Pertanto anche l'angolo nel segmento AHB è uguale all'angolo su C.

Sulla retta data AB risulta quindi tracciato un segmento di cerchio AHB capace di un angolo uguale a quello su C.

La costruzione con Geogebra:
  • disegno dell'angolo C
    • Circonferenza: disegna una circonferenza e fissa su di essa un arco, in modo da poter disegnare un angolo acuto, ottuso; per l'angolo retto basta disegnare un triangolo con un lato uguale a un diametro
  • Segmento: disegna il segmento AB
  • Angolo di ampiezza data: disegna l'angolo BAD uguale a C
  • Punto Medio: traccia il punto medio, F, di AB
  • Perpendicolare: disegna AE, perpendicolare ad AB in A
  • Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB per il suo punto medio F, che interseca la retta AE in G
  • Circonferenza: disegna la circonferenza di centro G e raggio e raggio GA

Questa proposizione non è più utilizzata

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello