LIBRO III
Prop.13: Un cerchio non è tangente a un cerchio per più di un punto, sia qualora sia tangente internamente sia qualora lo sia esternamente
Dimostrazione
Se infatti possibilie, sia il cerchio ABCD tangente, in primo luogo all'interno, a un cerchio EBFD secondo più punti che uno solo, siano D, B.
E del cerchio ABCD si prenda il centro G, e del cerchio EBFD sia H (Prop.3-1). La retta congiunta da G fino a H cadrà quindi su B e D (Prop.3-11). Cada come BGHD.
Poiché il punto G è il centro del cerchio ABCD e BG è uguale a GD, allora BG è maggiore di HD. BH è quindi molto maggiore di HD. Di nuovo, poiché il punto H è il centro del cerchio EBFD, BH è uguale a HD, ma è stato anche dimostrato essere maggiore di esso, il che è impossibile. Pertanto un cerchio non può essere tangente internamente a un cerchio in più di un punto.
Dico ora che neanche all'esterno.
Se infatti possibilie, sia il cerchio ACK tangente al cerchio ABCD in più di un punto, siano A e C. Si congiunga AC.
Poiché dunque sulla circonferenza di entrambi i cerchi ABCD e ACK sono stati presi due punti A e C come capita, la retta congiungente i punti cadrà all'interno di entrambi i cerchi (Prop.3-2), ma cade all'interno del cerchio ABCD e all'esterno di ACK (Def.3-3), il che è assurdo.
Pertanto un cerchio nopn può essere tangente esternamente in più di un punto. Ed è stato dimostrato che neanche all'interno.
Un cerchio non è tangente a un cerchio per più di un punto, sia qualora sia tangente internamente sia qualora lo sia esternamente.
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABCD
- strumento Conica per cinque punti: disegna la conica BEDF
- strumento Segmento: disegna il segmento AB e su di esso i punti G e H
- strumento Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ACK
- strumento Segmento: disegna il segmento AC
Nella seconda figura impossibile vi sono tre curve che congiungono A a C. I due cerchi non sono supposti intersecanti tra loro, ma proprio essere tangenti in due punti, e la retta AC dovrebbe stare tra i due cerchi e non all'interno di uno di essi.
Questa proposizione non è più utilizzata.