LIBRO III
Prop.12: Qualora due cerchi siano tangenti tra loro all'esterno, la retta che congiunge i loro centri passerà per il punto di tangenza
Dimostrazione
Siano dati due cerchi ABC e ADE, tangenti tra loro all'esterno nel punto A, e del cerchio ABC si prenda il centro F, del cerchio ADE il centro G (Prop.3-1): dico che la retta congiunta da G fino a F passerà per il punto di contatto A.
No infatti, ma se possibilie passi come FCDG. Si congiungano AF e AG.
Poiché il punto F è il centro del cerchio ABC, FA è uguale a FC. Di nuovo, poiché il punto G è il centro del cerchio ADE, GA è uguale a GD.
Ma FA è stato dimostrato uguale a FC, pertanto FA e AG sono uguali a FC e GD, così che FG totale è maggiore di FA e AG, ma è anche minore (Prop.1-20), il che è impossibile.
Pertanto la retta congiunta da F a G non può non passare fuori del punto di contatto A: passerà quindi per esso.
Qualora quindi due cerchi siano tangenti tra loro all'esterno, la retta che congiunge i loro centri passerà per il punto di tangenza.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- Tangente: disegna la tangente alla circonferenza nel punto A
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare in A alla tangente
- Punto: traccia un punto sulla perpendicolarer e nascondilo
- Circonferenza: disegna la circonferenza ADE con centro nel punto prima scelto
- Punto: traccia due punti F, interno ad ABC e G interno a ADE
- Segmento: disegna i segmenti AG, AE, FG
Si ritiene che questa proposizione sia stata aggiunta agli Elementi in un periodo successivo ad Euclide.
Questa proposizione non è più utilizzata.