LIBRO III
Prop.3: Qualora in un cerchio una certa retta per il centro sechi a metà una certa retta non per il centro, la seca anche ad angoli retti; e qualora la sechi ad angoli retti, la seca anche a metà
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABC e in esso una retta CD passante per il centro sechi a metà nel punto F una retta AB non passante per il centro: dico che la seca anche ad angoli retti.
Si prenda il centro E del cerchio ABC (Prop.3-1), e si congiunga EA e EB.
Poiché AF è uguale a FB, e FE è in comune, due lati uguali a due lati, e la base EA è uguale alla base EB; l'angolo AFE è quindi uguale all'angolo BFE (Prop.1-8).
Ma, quando una retta che sta su una retta forma gli angoli consecutivi uguali tra loro, ognuno deglia angoli è retto: uno e l'altro degli angoli AFE e BFE è retto (Def.1-10).
Pertanto CD, che passa per il centro e biseca AB che non passa per il centro, la seca quindi ad angoli retti.
Ora, CD sechi AB ad angoli retti: dico che la seca anche a metà, cioè che AF è uguale a FB.
Effettuate infatti le stesse costruzioni, poiché EA è uguale a EB, anche l'angolo EAF è uguale all'angolo EBF (Prop.1-5). Ed è anche AFE retto uguale a BFE retto: sono quindi due triangoli EAF, EFB che hanno due angoli uguali a due angoli e un solo lato, quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, EF comune ad essi (Prop.1-26); avranno quindi anche i restanti lati uguali ai restanti lati: AF è quindi uguale a FB.
Qualora in un cerchio una certa retta per il centro sechi a metà una certa retta non per il centro, la seca anche ad angoli retti; e qualora la sechi ad angoli retti, la seca anche a metà.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E
- Segmento: traccia la corda AB
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare ad AB passante per E che interseca AB in F
- Segmento: disegna i segmenti AE, EB
La proposizione è utilizzata nella successiva.