LIBRO III
Prop.4: Qualora in un cerchio due rette che non sono per il centro si sechino tra loro, non si secano tra loro a metà
Dimostrazione
Sia dato il cerchio ABCD e in esso due rette AC, BD non passanti per il centro si sechino tra loro nel punto E: dico che non si secano tra loro a metà.
Se infatti possibile, si sechino tra loro a metà, così che AE è uguale a EC, e BE è uguale a ED. Si prenda il centro F del cerchio ABCD (Prop.3-1). Si congiunga FE.
Poiché dunque una linea retta FE passante per il centro seca a metà, una linea retta AC non passante per il centro la seca pure ad angoli retti: FEA è quindi retto (Prop.3-3).
Di nuovo, poiché una retta FE seca a metà una retta BD, la seca anche ad angoli retti (Prop.3-3). Pertanto l'angolo FEB è retto. Ma l'angolo FEA è stato dimostrato anche retto, quindi l'angolo FEA è uguale all'angolo FEB, il minore uguale al maggiore, il che è impossibile.
Pertanto AC e BD non si secano tra loro a metà.
Ora, CD sechi AB ad angoli retti: dico che la seca anche a metà, cioè che AF è uguale a FB.
Effettuate infatti le stesse costruzioni, poiché EA è uguale a EB, anche l'angolo EAF è uguale all'angolo EBF (Prop.1-5). Ed è anche AFE retto uguale a BFE retto: sono quindi due triangoli EAF, EFB che hanno due angoli uguali a due angoli e un solo lato, quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, uguale a un solo lato, EF comune ad essi (Prop.1-26); avranno quindi anche i restanti lati uguali ai restanti lati: AF è quindi uguale a FB.
Qualora quindi in un cerchio due rette che non sono per il centro si sechino tra loro, non si secano tra loro a metà.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABC
- si determini il centro F della circonferenza
- Punto: traccia il punto D sulla circonferenza
- Segmento: disegna i segmenti AC, BD e FE
Questa proposizione non è utilizzata nel resto degli Elementi. L'inverso di questa proposizione afferma che se due rette in un cerchio si bisecano, allora si incontrano nel centro.