LIBRO III
Prop.5: Qualora due cerchi si sechino tra di loro, il loro centro non sarà lo stesso
Dimostrazione
Due cerchi ABC, CDG si sechino tra loro nei punti B e C: dico che il loro centro non sarà lo stesso.
Se infatti possibile, sia E, e si congiunga EC, e si conduca oltre EFG come capita.
Poiché, il punto E è il centro del cerchio ABC, EC è uguale a EF. Di nuovo, poiché il punto E è il centro del cerchio CDG, EC è uguale a EG (Def.1-15).
Ma EC è stato dimostrato anche uguale a EF, anche EF è quindi uguale a EG, il minore uguale al maggiore, il che è impossibile.
Pertanto il punto E non è il centro dei cerchi ABC e CDG.
Qualora quindi due cerchi si sechino tra di loro, il loro centro non sarà lo stesso.
La costruzione con GeoGebra:
- Punto: traccia tre punti A, B, C non allineati
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABC
- Punto: traccia il punto G
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza CBG
- Punto: traccia il punto E
- Segmento: disegna i segmenti EC, EG
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-10 che afferna che i cerchi non si possono intersecare in più di due punti.