Elementi di Euclide

Prop.15: In un cerchio retta massima è il diametro, delle altre, in successione quella più vicina al centro è maggiore di quella più lontana

Dimostrazione

Sia dato il cerchio ABCD, un suo diametro AD, il suo centro E e sia BC più vicina al diametro AD, FG più lontana: dico che massima è AD e BC è maggiore di FG.

Si conducano EH e EK dal centro E perpendicolari a BC e FG (Prop.1-12). Poiché BC è più vicina al centro e FG è più lontana, EK è maggiore di EH (Def.3-5).

Si prenda EL uguale a EH (Prop.1-3). Si conduca LM oltre fino a N ad angoli retti con EK (Prop.1-11). Si congiungano ME, EN, FE, FG.

Poiché EH è uguale a EL, anche BC è uguale a MN (Prop.3-14). Di nuovo, poiché AE è uguale a EM, e ED è uguale a EN, AD è uguale alla somma di ME e EN. Ma la somma di NE e EN è maggiore di MN (Prop.1-20), e MN è uguale a BC; AD è quindi maggiore di BC.

E poiché i due lati ME e EN sono uguali ai due lati FE e EG, e l'angolo MEN è maggiore dell'angolo FEG, allora la base MN è maggiore della base FG (Prop.1-24). Ma MN è stata dimostrata uguale a BC. Pertanto il diametro AD è il maggiore e BC è maggiore di FG.

In un cerchio retta massima è quindi il diametro, delle altre, in successione quella più vicino al centro è maggiore di quella più lontano.

La costruzione con GeoGebra:

• La costruzione con Geogebra vincola le corde ad essere sempre più lontane o vicine dal centro:
  1. Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E
  2. Semiretta: disegna una semiretta di origine E (il punto sulla circonferenza è un pallino vuoto)
  3. Segmento: disegna il raggio delimitato da questa semiretta
  4. Punto Medio: traccia il punto medio di tale raggio
  5. Punto: traccia un punto interno al segmento che ha come estremi il centro e il punto medio, sia H detto punto
  6. Perpendicolare: disegna la perpendicolare per H ad EH, che interseca la cirocnferenza in B e C
  7. Segmento: disegna la corda BC e il segmento EH
  8. ripeti analoga costruzione per ottenere la corda FG in modo che risulti sempre più distante dal centro rispetto a BC
  9. Circonferenza: disegna la circonferenza di raggio EH e centro E, che interseca la semiretta EK in L (trasporto del segmento EH)
  10. Perpendicolare: disegna la perpendicolare a EL passante per L, che interseca la circonferenza in M e N
  11. Segmento: disegna i segmenti ME, FE, GE, NE

Questa proposizione non è utilizzata nel resto degli Elementi.