LIBRO III
Prop.17: Condurre dal punto dato una linea retta tangente al cerchio dato
Dimostrazione
Sia dato il punto A, il cerchio BCA: si deve pertanto condurre dal punto A una linea retta tangente al cerchio BCA.
Si prenda il centro E del cerchio (Prop.3-1), e si congiunga AE. Si tracci il cerchio AFG di centro E e raggio EA. Si conduca DF da D ad angoli retti a EA (Prop.1-11).
Dico che AB è stato condotto dal punto A tangente al cerchio BCD.
Poiché infatti E è il centro dei cerchi BCD e AFG, EA è uguale a EF e ED a EB. I due lati AE e EB sono quindi uguali ai due lati FE e ED, ed essi contengono un angolo in comune, l'angolo in E, la base DF è quindi uguale alla base AB, e il triangolo DEF è uguale al triangolo BEA (Prop.1-4), e gli angoli restanti agli angoli restanti; l'angolo EDF è quindi uguale all'angolo EBA.
Ma l'angolo EDF è retto, pertanto anche l'angolo EBA è retto. Ora EB è un raggio, e la retta condotta ad angoli retti al diametro di un cerchio, da un suo estremo, è tangente al cerchio (Prop.3-16Cor); AB è quindi tangente al cerchio BCD.
Dal punto A dato risulta quindi condotta una linea retta AB tangente al cerchio dato BCA.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza BCD di centro E
- Punto: traccia un punto A esterno al cerchio
- Segmento: disegna il segmento AE che interseca la circonferenza in D
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E e raggio AE
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare per D ad AE che incontra la circonferenza AFG in F
- Segmento: disegna il segmento EF che interseca la circonferenza BCD in B
- Segmento: congiungi AB, la tangente richiesta
Questa costruzione è usata nei Libri II e XIII.