LIBRO III
Prop.35: Qualora in un cerchio due rette si sechino tra loro, il rettangolo compreso dai segmenti di una sola è uguale al rettangolo compreso dai segmenti dall'altra
Dimostrazione
In un cerchio ABCD due rette AC, BD si sechino infatti tra loro nel punto E: dico che il rettangolo compreso dai segmenti AE, EC è uguale al rettangolo compreso da DE, EB.
Se ora AC e BD passano per il centro, così che E è il centro di ABCD, è manifesto che, essendo AE, EC, DE, EB uguali, anche il rettangolo AE per EC è uguale al rettangolo DE per EB.
AC e DB non passino ora per il centro.
Si prenda il centro del cerchio ABCD e sia F (Prop.3-1). Si traccino FG e FH da F perpendicolari alle rette AC e DB (Prop.1-12). Si congiungano FB, FC, FE. E poiché una retta GF per il centro seca una retta AC non per il centro ad angoli retti, essa la seca quindi a metà (Prop.3-3), pertanto AG è uguale a GC.
E poiché la retta AC risulta secata in parti uguali in G e disuguali in E, il rettangolo AE per EC insieme con il quadrato su EG sono uguali al quadrato su GC (Prop.2-5). Si sommi il quadrato su GF. Il rettangolo AE per EC più la somma dei quadrati su GE e GF è quindi uguale alla somma dei quadrati su CG e GF. Ma il quadrato su FE è uguale alla somma dei quadrati su EG e GF (Prop.1-47), e il quadrato su FC è uguale alla somma dei quadrati su CG e GF. Il rettangolo AE per EC più il quadrato su FE è quindi uguale al quadrato su FC. E FC è uguale a FB, pertanto il rettangolo AE per EC più il quadrato su EF è uguale al quadrato su FB.
Per gli stessi motivi, quindi, il rettangolo DE per EB più il quadrato su FE è uguale al quadrato su FB. Ma il rettangolo AE per EC più il quadrato su FE è stato dimostrato uguale al quadrato al quadrato su FB, il rettangolo AE per EC più il quadrato su FE è quindi uguale al rettangolo DE per EB più il quadrato su FE. Si sottragga il quadrato su FE da entrambi. Il rettangolo AE per EC restante è allora uguale al rettangolo DE per EB.
Qualora quindi in un cerchio due rette si sechino tra loro, il rettangolo compreso dai segmenti di una sola è uguale al rettangolo compreso dai segmenti dall'altra.
La costruzione con Geogebra:
- Circonferenza: disegna una circonferenza di centro E
- Segmento: disegna i diametri AC e BD
- caso rette non per il centro
- Segmento: disegna il segmento AC
- Punto: traccia il punto D esterno al segmento
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza ABCD
- Segmento: disegna la corda BD, che interseca AC in E
- Asse: disegna gli assi delle due corde, che si intersecano in F, il centro, e che intersecano AC in G e BD in H
- Segmento: disegna i segmenti FG, FH, FB, FC, FE
Questa proposizione non è più utilizzata