Elementi di Euclide

Prop. 5: Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dai segmenti disuguali della retta totale più il quadrato su quella tra le due sezioni è uguale al quadrato sulla metà

Dimostrazione

Si sechi la retta AB in segmenti uguali nel punto C e in disuguali in D: dico che il rettangolo AD per DB più il quadrato su CD è uguale al quadrato su CB.

Si descriva su CB il quadrato CEFB (Prop.1-46); si congiunga B con E, e per D si conduca la parallela DG a una o all'altra delle CE, BF, e per H si conduca la parallela KM all'una o all'altra delle AB, EF, e di nuovo per A si conduca la parallela AK all'una o all'altra delle CL, BM (Prop.1-31).

Poiché il completamento CH è uguale al completamento HF, si sommi DM comune; CM totale è quindi uguale a DF totale (Prop.1-43). Ma CM è uguale a AL poiché anche AC è uguale a CB; anche AL è quindi uguale a DF (Prop.1-36).

Si sommi CH comune: AH totale è quindi uguale allo gnomone NOP (Def.1-2). Ma AH è il rettangolo AD per DB, DH è infatti uguale a DB; anche lo gnomone NOP è quindi uguale al rettangolo AD per DB.

Si sommi LG comune, che è uguale al quadrato su CD: la somma dello gnomone NOP e LH è uguale alla somma del rettangolo AD per DB e del quadrato su CD. Ma lo gnomone NOP insieme con LG è l'intero quadrato CEFB, che è descritto su CB: il rettangolo AD per DB insieme al quadrato su AD è quindi uguale al quadrato su CB.

Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dai segmenti disuguali della retta totale più il quadrato su quella tra le due sezioni è uguale al quadrato sulla metà.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto Medio: segna C, il punto medio di AB
• Punto: traccia il punto D su AB
• Poligono regolare: costruzione del quadrato CBFE su CB
• Segmento: disegna la diagonale BE
• Parallela: disegna la parallela a DG passante per D, che interseca la diagonale in H e il lato DE in G
• Parallela: disegna la parallela a CE passante per A
• Parallela: disegna da H la parallela alla retta AB che interseca il lato BF in M, la parallela AK in K e CE in L
• Poligono: disegna il rettangolo ACLK e il quadrato LHGE

La figura che Euclide usa per questa proposizione svolse un ruolo fondamentale nell'algebra greca. Il suo significato non sta tanto nella dimostrazione, quanto nell'uso della figura da parte degli algebristi geometrici greci. Possiamo rappresentare algebricamente un rettangolo come xy, di lati x e y. Nella costruzione sia posto x = AD e y = DH. Nell'enunciato si dice che il rettangolo (xy) è uguale alla differenza tra due quadrati, quello su BC uguale a (x + y)/2 e quello su LH uguale a (x – y)/2, (uguale al quadrato su CD); cioè

xy = (x + y)² /2 - (x - y)² /2

La figura equivale a risolvere una equazione di secondo grado del tipo ax - x² = b², considerando solo l'eventuale radice positiva.

Infatti, se si dovesse costruire un segmento x tale che ax - x² = b², dove a e b tali che a>2b, si procederebbe così:

• si tracci il segmento AB = a, bisecandolo poi in C.
• da C si abbassi una perpendicolare CP = b
• con centro in P e raggio a/2 si tracci un cerchio che interseca AB in D
• su AB si costruisca il rettangolo ABMK di larghezza BM = BD
• si completi il quadrato BDHM, il cui lato è la soluzione cercata.

Questa proposizione è usata in Prop.2-14.