LIBRO I
Prop. 43: I completamenti dei parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono uguali tra loro
Dimostrazione
Sia ABCD un parallelogrammo e AC una sua diagonale, e intorno ad AC siano i parallelogrammi FH, FG, e i cosiddetti completamenti BK e KD: dico che il completamento BK è uguale al completamento KD.
Poiché infatti ABCD è un parallelogrammo, e AC una sua diagonale il triangolo ABC è uguale al triangolo ACD (Prop.1-34).
Di nuovo, poiché EH è un parallelogrammo e AK una sua diagonale, il triangolo AEK è uguale al triangolo AHK. Per gli stessi motivi anche il triangolo KFC è uguale al triangolo KGC (Prop.1-34).
Poiché dunque il triangolo AEK è uguale al triangolo AHK, e KFC a KGC, il triangolo AEK più KGC è uguale al triangolo AHK più KFC; ed è il triangolo ABC totale uguale al triangolo ADC totale: il restante completamento BK è quindi uguale al restante completamento KD (NC).
I completamenti dei parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra
- Punto: segna il punto B
- Semiretta: disegna le semirette per AB e BC aventi in comune il vertice B
- Parallela: disegna la parallela a BC passante per A, e la parallela per C a AB, che si intersecano nel punto D
- Poligono: disegna il parallelogrammo ABCD
- Segmento: disegna la diagonale AC
- Punto: traccia il punto K sulla diagonale AC
- Parallela: disegna la parallela a AD passante per K, che interseca la retta per AB in E e quella per CD in F
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per K che interseca la retta BC in G e la retta AD in H.
- Poligono: disegna i parallelogrammi EBGK e DFKH
Nell'enunciato "i parallelogrammi intorno alla diagonale", si riferisce ai due parallelogrammi aventi gli stessi angoli del parallelogrammo assegnato e con le diagonali AK e KC che sono due parti qualsiasi della diagonale AC. I "completamenti", invece, sono i due parallelogrammi che rimangono dopo aver tolto dal parallelogrammo dato i due che hanno come diagonali AK e KC.
Lo scopo di questa proposizione è di trovare un parallelogrammo equivalente di forma diversa, cioè dal parallelogrammo EBGK al DFKH, i due completamenti.
Questa trasformazione è usata nella prossima proposizione.