LIBRO I

Prop. 43: I completamenti dei parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono uguali tra loro

Dimostrazione

Sia ABCD un parallelogrammo e AC una sua diagonale, e intorno ad AC siano i parallelogrammi FH, FG, e i cosiddetti completamenti BK e KD: dico che il completamento BK è uguale al completamento KD.

Poiché infatti ABCD è un parallelogrammo, e AC una sua diagonale il triangolo ABC è uguale al triangolo ACD (Prop.1-34).

Di nuovo, poiché EH è un parallelogrammo e AK una sua diagonale, il triangolo AEK è uguale al triangolo AHK. Per gli stessi motivi anche il triangolo KFC è uguale al triangolo KGC (Prop.1-34).

Poiché dunque il triangolo AEK è uguale al triangolo AHK, e KFC a KGC, il triangolo AEK più KGC è uguale al triangolo AHK più KFC; ed è il triangolo ABC totale uguale al triangolo ADC totale: il restante completamento BK è quindi uguale al restante completamento KD (NC).

I completamenti dei parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono uguali tra loro.

La costruzione con GeoGebra
  • Punto: segna il punto B
  • Semiretta: disegna le semirette per AB e BC aventi in comune il vertice B
  • Parallela: disegna la parallela a BC passante per A, e la parallela per C a AB, che si intersecano nel punto D
  • Poligono: disegna il parallelogrammo ABCD
  • Segmento: disegna la diagonale AC
  • Punto: traccia il punto K sulla diagonale AC
  • Parallela: disegna la parallela a AD passante per K, che interseca la retta per AB in E e quella per CD in F
  • Parallela: disegna la parallela a CD passante per K che interseca la retta BC in G e la retta AD in H.
  • Poligono: disegna i parallelogrammi EBGK e DFKH

Nell'enunciato "i parallelogrammi intorno alla diagonale", si riferisce ai due parallelogrammi aventi gli stessi angoli del parallelogrammo assegnato e con le diagonali AK e KC che sono due parti qualsiasi della diagonale AC. I "completamenti", invece, sono i due parallelogrammi che rimangono dopo aver tolto dal parallelogrammo dato i due che hanno come diagonali AK e KC.

Lo scopo di questa proposizione è di trovare un parallelogrammo equivalente di forma diversa, cioè dal parallelogrammo EBGK al DFKH, i due completamenti.

Questa trasformazione è usata nella prossima proposizione.

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“Euclide nella scuola di Atene di Raffaello