Elementi di Euclide

Prop. 14: Costruire un quadrato uguale alla figura rettilinea data

Dimostrazione

Sia data la figura rettilinea A: si deve pertanto costruire un quadrato uguale alla figura rettilinea A.

Si costruisca un parallelogrammo rettangolo BD uguale alla figura rettilinea A (Prop.1-45); se dunque BE è uguale a ED, risulterebbe quanto prescritto. Risulta infatti costruito un quadrato BD uguale alla figura rettilinea A; se invece no, una sola delle BE, ED è maggiore.

Sia BE maggiore, e sia stata prolungata fino a F (Prop.1-3). Si ponga EF uguale a ED e si sechi BF a metà in G (Prop.1-10), e con centro G e raggio una delle GB o GF si descriva il semicerchio BHF e si prolunghi DE fino a H (Def.1-18); si congiunga GH.

Poiché dunque la retta BF è stata secata in segmenti uguali in G e in disuguali in E, il rettangolo BE per EF più il quadrato su EG è quindi uguale al quadrato su GF (Prop.2-5).

Ma GF è uguale a GH, il rettangolo BE per EF insieme con il quadrato su GE è quindi uguale al quadrato su GH. Ma la somma dei quadrati su HE e EG è uguale al quadrato su GH (Prop.1-47), il rettangolo BE per EF più il quadrato su GE è quindi uguale alla somma dei quadrati su HE e EG.

Si sottragga il quadrato su GE comune; il rettangolo restante BE per EF è uguale al quadrato su EH. Ma il rettangolo BE per EF è ED, EF è infatti uguale a ED, allora il parallelogrammo BD è uguale al quadrato su HE.

E BD è uguale alla figura rettilinea A. Anche la figura rettilinea A è quindi uguale al quadrato che si può descrivere su EH.

Costruire un quadrato uguale alla figura rettilinea data.

La costruzione con GeoGebra::

• Poligono: disegna il poligono A
• costruzione del rettangolo uguale ad A (vedi Prop.1-45)
• Segmento: disegna una diagonale del poligono, che lo divide in due triangolì
• Perpendicolare: traccia le perpendicolari alla diagonale dai due vertici opposti alla diagonale
• Segmento: disegna le altezze dei triangoli (h e k)
• Punto: segna il punto B nel piano
• Segmento di data lunghezza: disegna il segmento uguale alla somma delle due altezze del poligono (h+k), BE
• costruire il rettangolo, BEDC, di base BE e altezza metà della diagonale del poligono
• Semiretta: disegna la semiretta BE
• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro E e raggio uguale a ED, che incontra la semiretta BE in F
• Semicirconferenza da due punti: disegna la semicirconferenza di diametro BF, che interseca la retta ED in H
• Punto medio: traccia il punto medio, G, del segmento BF
• Segmento: disegna i segmenti GH e EH

La Prop.2-5 permette di convertire il rettangolo BE per ED nella differenza di due quadrati, GF² – GE². Si noti che GF è uguale a GH, l'ipotenusa di un triangolo rettangolo GHE. Usando la Prop1-47 si può sostituire la differenza dei due quadrati con il singolo quadrato, EH². Allora, il rettangolo iniziale è uguale al quadrato EH².