Elementi di Euclide

Prop. 6: Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata ad essa in linea retta, il rettangolo compreso da quella totale insieme con quella sommata e da quella sommata più il quadrato sulla metà è uguale al quadrato su quella composta sia dalla metà sia da quella sommata

Dimostrazione

Si sechi la retta AB a metà nel punto C e si sommi ad essa in linea retta la retta BD: dico che il rettangolo AD per DB più il quadrato su CB è uguale al quadrato su CD.

Si descriva su CD il quadrato CEFD (Prop.1-46); si congiunga D con E, e per B si conduca la parallela BG a una o all'altra delle EC, DF, e per H si conduca la parallela KM all'una o all'altra delle AB, EF, e ancora per A si conduca la parallela AK all'una o all'altra delle CL, DM (Prop.1-31).

Poiché AC è uguale a CB, anche AL è uguale a CH (Prop.1-36). Ma CH è uguale a HF. Anche AL è uguale a HF (Prop.1-43). Si sommi CM comune; AM totale è quindi uguale allo gnomone NPO (Def.1-2). Ma AM è il rettangolo AD per DB, DM infatti è uguale a DB; anche lo gnomone NPO è quindi uguale al rettangolo AD per DB.

Si sommi LG comune, che è uguale al quadrato su BC: il rettangolo AD per DB, più il quadrato su BC è quindi uguale allo gnomone NPO e a LG. Ma lo gnomone NPO e LG come totale è il quadrato CEFD, che è descritto su CD: il rettangolo AD per DB più il quadrato su CB è quindi uguale al quadrato su CD.

Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata ad essa in linea retta, il rettangolo compreso da quella totale insieme con quella sommata e da quella sommata più il quadrato sulla metà è uguale al quadrato su quella composta sia dalla metà sia da quella sommata.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Punto Medio: segna C, il punto medio di AB
• Semiretta: disegna la semiretta AB
• Punto: traccia il punto D sul prolungamento di AB dalla parte di B
• Poligono regolare: costruzione del quadrato CDFE di lato CD
• Perpendicolare: traccia la perpendicolare al lato CD passante per B che interseca l'altro lato in G
• Perpendicolare: traccia la perpendicolare al lato CD passante per A
• Segmento: traccia la diagonale DE che interseca in H la perpendicolare BG
• Parallela: traccia la parallela e CD per H che interseca il lati del quadrato in L e M e la perpendicolare per A in K
• Poliogno: costruire il rettangolo ACKL, il quadrato LHGE
• Segmento: traccia i segmenti BH e HM
• Angolo: segna l'angolo GHL

Questa proposizione è pressoché simile alla precedente, Prop.2-5, tranne per il fatto che il punto D non appartiene ad AB ma al suo prolungamento.

Sia b = AB, x = AD, e y = BD. Allora x – y = b. Infatti il rettangolo AD per DB, che è rappresentato dal prodotto xy, è la differenza tra due quadrati, il maggiore descritto sul lato CD = x – b/2, e il minore sul lato CB = b/2. Algebricamente

\( x\left(x-b\right)=\left(x-\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \)

Questa costruzione rappresenta la soluzione dell'equazione di secondo grado del tipo \(ax+x^{2}=b^{2}\).

Si applica a un segmento dato AB = a un rettangolo AM = ax+x² che sarà uguale al quadrato dato b² ed eccederà AH per una figura quadrata.

Allora \(CD=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+b^{2}}\) e poiché il rettangolo \(AM=ax+x^{2}\) più il quadrato \(LG=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) è uguale al quadrato \(CF=\left[\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+b^{2}\right]\), si ha che l'equazione \(ax+x^{2}=b^{2}\) è sodfdisfatta.

Questa proposizione è usata in Prop.2-11.