LIBRO II
Prop. 11: Secare la retta data in modo che il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti sia uguale al quadrato sul restante segmento
Dimostrazione
Sia data la retta AB: si deve pertanto secare AB cosicché il rettangolo compreso da quella totale e dall'uno o dall'altro dei segmenti sia uguale al quadrato sul restante segmento.
Si descriva su AB il quadrato ABDC (Prop.1-46), e si sechi AC a metà nel punto E (Prop.1-10) e si congiunga B con E; e si prolunghi CA fino a F (Prop.1-3), e si ponga BE uguale a EF; si descriva su AF il quadrato FH e si conduca GH fino a K (Prop.1-46): dico che AB risulta secata secondo H in modo da formare il rettangolo AB per BH uguale al quadrato su AH.
Poiché infatti la retta AC risulta secata a metà in E, e ad essa risulta sommata FA, il rettangolo CF per FA più il quadrato su AE è uguale al quadrato su EF (Prop.2-6). Ma EF è uguale a EB, il rettangolo CF per FA insieme al quadrato su AE è uguale al quadrato su EB.
Ma la somma dei quadrati su BA e AE è uguale al quadrato su EB (Prop.1-47), l'angolo su A è infatti retto, il rettangolo CF per FA insieme al quadrato su AE è uguale alla somma dei quadrati su BA e AE. Si sottragga quello su AE comune; il rettangolo restante CF per FA è uguale quindi al quadrato su AB.
Il rettangolo FA per FK è FK, AF è infatti uguale a FG, e il quadrato su AB è AD, FK è quindi uguale ad AD. Si sottragga AK comune: FH restante è allora uguale a HD.
E HD è il rettangolo AB per BH, AB è infatti uguale a BD, e FH è il quadrato su AH; il rettangolo AB per BH è quindi uguale al quadrato su AH.
La retta data AB risulta quindi secata secondo H così da fare il rettangolo AB per BH uguale al quadrato su AH.
La costruzione con GeoGebra::
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato ABDC su AB
- Punto medio: traccia il punto medio E del lato AC
- Segmento: disegna il segmento BE
- Semiretta: disegna la semiretta CA
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E e raggio EB, che interseca la semiretta CA in F
- Poligono regolare: disegna il quadrato AFGH, su AF, dalla parte di ABCD
- Semiretta: disegna la semiretta GH che interseca il lato CD in K
- Segmento: disegna il segmento HK
Questa costruzione seca la retta in due parti per risolvere geometricamente l'equazione
\(a\left(a-x\right)=x^{2}\)
Questa figura è sovente usata per illustrare la proprietà iterativa della sezione aurea. (figura sotto)
