LIBRO II
Prop. 12: Nei triangoli ottusangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo ottuso è maggiore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo ottuso per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo ottuso, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'esterno dalla perpendicolare all'angolo ottuso
Dimostrazione
Sia ABC un triangolo ottusangolo che ha l'angolo ottuso BAC, e si conduca dal punto B perpendicolare (Prop.1-12) a CA prolungata una retta BD: dico che il quadrato su BC è maggiore della somma dei quadrati su BA e AC per due volte il rettangolo CA per AD.
Poiché la retta CD risulta secata, come capita, nel punto A/, il quadrato su DC è uguale alla somma dei quadrati su CA e AD e a due volte il rettangolo CA per AD (Prop.2-4).
Si sommi quello su DB comune: la somma dei quadrati su CD e AB è quindi uguale alla somma dei quadrati su CA, AD più due volte il rettangolo CA per AD.
Ma il quadrato su CB è uguale alla somma dei quadrati su CD e DB (Prop.1-47), l'angolo D è infatti retto, e il quadrato su AB è uguale alla somma dei quadrati su AD e DB; il quadrato su CB è quindi uguale alla somma dei quadrati su CA e AB più due volte il rettangolo CA per AD, così che il quadrato su CB è maggiore della somma dei quadrati su CA e AB per due volte il rettangolo CA per AD.
Nei triangoli ottusangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo ottuso è maggiore dei quadrati sui lati che comprendono l'angolo ottuso per due volte il rettangolo compreso da uno solo dei lati intorno all'angolo ottuso, quello su cui cade la perpendicolare, e dalla retta staccata all'esterno dalla perpendicolare all'angolo ottuso.
La costruzione con GeoGebra::
- Triangolo: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna la semiretta CA
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare per B alla semiretta CA che interseca nel punto D
- Segmento: disegna i segmenti BD e AD
Questa proposizione unita alla successiva fa da complemento del teorema di Pitagora, Prop.1-47. In essa, l'angolo A è ottuso invece di retto, e la conclusione è che
\( a^{2}=b^{2}+c^{2}+2ch \)
dove h identifica l'altezza del triangolo e c la sua base. Questa conclusione è assai simile alla legge dei coseni (teorema di Carnot) per triangoli qualunque