LIBRO II
Prop. 10: Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata a essa in linea retta, il quadrato sulla retta totale insieme con quella sommata e quello su quella sommata, i quadrati messi insieme, sono doppi sia di quello sulla metà sia del quadrato descritto su quella composta sia dalla metà che da quella sommata come su una sola retta
Dimostrazione
Si sechi la retta AB a metà in C, e si sommi a essa in linea retta una certa retta BD: dico che la somma dei quadrati su AD, DB è doppia della somma dei quadrati su AC, CD.
Si tracci CE dal punto C ad angoli retti con AB (Prop.1-11) e uguale a una e all'altra delle AC, CB (Prop.1-3). Si congiunga EA e EB. Per E parallela ad AD si tracci la retta EF, e per D parallela a CE la retta FD (Prop.1-31).
E poiché la retta EF incide su rette parallele EC e FD, la somma degli angoli CEF e EFD è uguale a due retti; la somma degli angoli FEB e EFD è quindi minore di due retti (Prop.1-29).
Ma rette prolungate da meno di due retti si incontrano (Post.5): quindi EB e FD, se prolungate si incontreranno dalla parte di B e di D. Siano prolungate e si incontrino in G, e si congiunga AG.
E poiché AC è uguale a CE, l'angolo EAC è pure uguale all'angolo AEC (Prop.1-5), e quello su C è retto, uno e l'altro degli EAC, AEC è quindi metà di un retto (Prop.1-32). Per gli stessi motivi anche uno e l'altro degli angoli CEB e EBC è metà di un retto, AEB è quindi retto.
E poiché l'angolo EBC è metà di un retto, anche DBG è quindi metà di un retto (Prop.1-15). Ma l'angolo BDG è pure retto, è infatti uguale a DCE, è infatti alterno (Prop.1-29). L'angolo DGB restante è quindi metà di un retto; DGB è quindi uguale a DBG (Prop.1-32), cosicché anche il lato BD è uguale al lato GD (Prop.1-6).
Di nuovo, poiché EGF è metà di un retto, e l'angolo su F è retto, è infatti uguale all'opposto su C (Prop.1-34), il restante angolo FEG è quindi metà di un retto: l'angolo EGF è quindi uguale a FEG (Prop.1-32), cosicché anche il lato GF è uguale al lato EF (Prop.1-6).
E poiché il quadrato su EC è uguale al quadrato su CA, anche la somma dei quadrati su EC e CA è quindi doppia del quadrato su CA. Ma il quadrato su EA è uguale alla somma dei quadrati su EC e CA (Prop.1-47), il quadrato su EA è quindi doppio del quadrato su AC.
Di nuovo, poiché FG è uguale a EF, il quadrato su FG è quindi uguale al quadrato su FE. La somma dei quadrati su GF e FE è quindi doppia del quadrato su EF. Ma il quadrato su EG è uguale alla somma dei quadrati su GF e FE (Prop.1-47); il quadrato su EG è quindi doppio del quadrato su EF.
Ed EF è uguale a CD, il quadrato su EG è quindi doppio di quello su CD (Prop.1-34). Ma il quadrato su EA è stato pure dimostrato essere doppio del quadrato su AC; la somma dei quadrati su AE ed EG è quindi doppia della somma sui quadrati su AC e CD.
E il quadrato su AG è uguale alla somma dei quadrati su AE e EG; il quadrato su AG è quindi doppio della somma dei quadrati su AC e CD. Ma la somma dei quadrati su AD e DG è uguale al quadrato su AG (Prop.1-47); la somma dei quadrati su AD e DG è quindi doppia della somma dei quadrati su AC e CD.
E DG è uguale a DB; la somma dei quadrati su AD e DB è quindi doppia della somma dei quadrati su AC e CD.
Qualora una linea retta sia secata a metà, e una certa retta sia sommata a essa in linea retta, il quadrato sulla retta totale insieme con quella sommata e quello su quella sommata, i quadrati messi insieme, sono doppi sia di quello sulla metà sia del quadrato descritto su quella composta sia dalla metà che da quella sommata come su una sola retta.
La costruzione con Geogebra può essere eseguita seguendo le indicazioni della parte costruttiva della dimostrazione.
Questa proposizione si può interpretare in modo da ottenere la stessa identità algebrica della proposizione precedente (Prop.2-9). Se y=CD e z=CB, allora si ha
\(\left(y+z\right)^{2}+\left(y-z\right)^{2}=2\left(y^{2}+z^{2}\right)\)
La dimostrazione è quasi la stessa della precedente. La differenza nella costruzione è che il punto D e sul prolungamento di AB oltre il punto B.
Come prima si disegna la perpendicolare CE ad AB e uguale alla sua metà. Il completamento della figura determina i triangoli rettangoli isosceli, ACE, ECB, EFG, e altri due triangoli rettangoli AEG e ADG. Allora,
\(AG^{2}=AE^{2}+EG^{2}=\left(AC^{2}+CE^{2}\right)+\left(EF^{2}+FG^{2}\right)=2\left(AC^{2}+CD^{2}\right)\)
Ma anche,
\(AG^{2}=AD^{2}+DG^{2}=AD^{2}+DB^{2}\)
Pertanto,
\(AD^{2}+DB^{2}=2\left(AC^{2}+CD^{2}\right)\)