LIBRO II
Prop. 9: Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, i quadrati sui segmenti disuguali della retta totale sono doppi sia del quadrato sulla metà sia di quello sulla retta tra le sezioni
Dimostrazione
Si sechi la retta AB in segmenti uguali nel punto C, in disuguali in D: dico che la somma dei quadrati su AD, DB è doppia della somma dei quadrati su AC, CD.
Si conduca da C ad angoli retti con AB la retta CE (Prop.1-11), tale che sia uguale a una e all'altra delle AC, CB (Prop.1-3), e si congiunga EA ed EB, e si conducano le parallele DF per D alla retta EC, FG per F alla retta AB (Prop.1-31), e si congiunga A con F.
Poiché AC è uguale a CE, anche l'angolo EAC è uguale a AEC (Prop.1-5). E poiché quello su C è retto, EAC e AEC restanti sono quindi uguali a un solo retto (Prop.1-32), e sono uguali: uno e l'altro dei CEA, CAE è quindi metà di un retto.
Per gli stessi motivi anche uno e l'altro dei CEB, EBC è metà di un retto: AEB totale è quindi retto. E poiché GEF è metà di un retto (Prop.1-29), e EGF è retto, è infatti uguale all'interno e opposto ECB (Prop.1-32), EFG restante è quindi metà di un retto: l'angolo GEF è quindi uguale a EFG, cosicché il lato EG è uguale a GF (Prop.1-6).
Poiché l'angolo su B è metà di un retto e FDB è retto, è infatti di nuovo uguale all'interno e opposto ECB, BFD restante è quindi metà di un retto: l'angolo su B è quindi uguale a DFB, cosicché anche il lato FD è uguale al lato DB.
E poiché AC è uguale a CE, anche il quadrato su AC è uguale a quello su CE: la somma dei quadrati su AC e CE è quindi doppia del quadrato su AC. E uguale alla somma di quelli su AC, CE è il quadrato su EA (Prop.1-47), l'angolo ACE è infatti retto: quello su EA è quindi doppio di quello su AC.
Di nuovo, poiché EG è uguale a GF, anche quello su EG è uguale a quello su GF: la somma dei quadrati su EG, GF è quindi doppia del quadrato su GF. E uguale alla somma dei quadrati su EG, GF è il quadrato su EF: il quadrato su EF è quindi doppio di quello su GF. E GF è uguale a CD: quello su EF è quindi uguale al doppio di quello su CD (Prop.1-34).
Ed è anche quello su EA doppio di quello su AC: la somma dei quadrati su AE e EF è quindi doppia di quella dei quadrati su AC, CD. E uguale alla somma di quelli su AE, EF è il quadrato su AF (Prop.1-47), l'angolo AEF è infatti retto: il quadrato su AF è quindi doppio della somma di quelli AC, CD. E uguale a quello su AF è la somma di quelli su AD, DF, l'angolo D è infatti retto: la somma di quelli su AD, DF è quiindi doppia di quella su AC, CD.
E DF è uguale ad AB: la somma dei quadrati su AD, DB è quindi doppia di quella sui quadrati su AC, CD.
Qualora una linea retta sia secata in segmenti uguali e disuguali, i quadrati sui segmenti disuguali della retta totale sono doppi sia del quadrato sulla metà sia di quello sulla retta tra le sezioni.
La costruzione con GeoGebra::
- Segmento: disegna il segmento AB
- Punto Medio: segna C, il punto medio di AB
- Punto: traccia il punto D su AB
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare ad AB per C
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro C e raggio AC, che interseca la perpendicolare in E
- Segmento: disegna i segmenti, EA, EC, BE
- Parallela: disegna la parallela a EC passante per D, che interseca EB in F e la parallela a AB in F che interseca EC in G
- Segmento: disegna i segmenti FG, AF
Questa è la costruzione di Euclide. Per mettere in evidenza i quadrati dell'enunciato, Geogebra mette a disposizione lo strumento Poligono Regolare, che riunisce tutte le fasi per ottenere ad esempio un quadrato.
L'equazione, \(AD^{2}+DB^{2}=2\left(AC^{2}+AD^{2}\right)\), può essere interpretata in vari modi, a seconda di quali informazioni sono ritenute di base
Per esempio, quando si pone AC=CB=y e CD=z, allora si ha l'identità
\(\left(y+z\right)^{2}+\left(y-z\right)^{2}=2\left(y^{2}+z^{2}\right)\)
Oppure, quando si pone AC=CB=y e BC=x, allora si ha
\(\left(2y-x\right)^{2}+x^{2}=2\left[y^{2}-\left(y-x\right)^{2}\right]\)
Questa proposizione è usata nel Libro 10.