Elementi di Euclide

Prop. 8: Qualora una linea retta sia secata come capita, quattro volte il rettangolo compreso da quella totale e da uno solo dei segmenti più il quadrato sul restante segmento è uguale al quadrato descritto sia su quella totale che sul detto segmento come su una sola retta

Dimostrazione

Si sechi la retta AB come capita nel punto C: dico che quattro volte il rettangolo AB per BC più il quadrato su AC è uguale al quadrato descritto su AB,BC come su una sola retta.

Si prolunghi AB di BD uguale a CB (Prop.1-3), e si descriva su AD il quadrato AEFD, (Prop.1-46) e si tracci completamente e doppiamente la figura (Prop.1-31).

Poiché CB è uguale a BD, mentre CB è uguale a GK, e BD a KN, anche GK è quindi uguale a KN (Prop.1-34). Per gli stessi motivi QR è uguale a RP.

E, poiché BC è uguale a BD, e GK a KN, allora CK è pure uguale a KD, e GR a RN (Prop.1-36). Ma CK è uguale a RN, sono infatti completamenti del parallelogrammo CP, anche KD è quindi uguale a GR; pertanto i quattro DK, CK, GR, RN sono uguali tra loro. I quattro sono quindi quadrupli di CK (Prop.1-43).

Di nuovo, poiché CB è uguale a BD, mentre BD è uguale a BK, cioè a CG, e CB è uguale a GK, cioè a GQ, anche CG è uguale a GQ (Prop.1-34). E poiché CG è uguale a GQ, e QR a RP, anche AG è quindi uguale a MQ, e QL a RF (Prop.1-36).

Ma MQ è uguale a QL, sono infatti completamenti del parallelogrammo ML, anche AG è quindi uguale a RF (Prop.1-43). I quattro AG, MQ, QL, RF sono quindi uguali tra loro: i quattro sono quindi quadrupli di AG. Ma i quattro CK, KD, GR, RN furono dimostrati quadrupli a CK, gli otto che comprendono lo gnomone STU, sono quadrupli di AK.

Ma lo gnomone STU fu dimostrato quadruplo di AK, quattro volte il rettangolo AB per BD è quindi uguale allo gnomone STU.

Si sommi OH comune, che è uguale al quadrato su AC. Quattro volte il rettangolo AB per BD più il quadrato su AC è quindi uguale allo gnomone STU più OH. Ma lo gnomone STU e OH come totale è il quadrato AEFD, che è descritto su AD. Quattro volte il rettangolo AB per BD più il quadrato su AC è quindi uguale al quadrato su AD: e BD è uguale a BC.

Quattro volte il rettangolo AB per BC più il quadrato su AC è quindi uguale a quello su AD, cioè al quadrato descritto su AB, BC come su una sola retta.

Qualora una linea retta sia secata come càpita, quattro volte il rettangolo compreso da quella totale e da uno solo dei segmenti più il quadrato sul restante segmento è uguale al quadrato descritto sia su quella totale che sul detto segmento come su una sola retta.

La costruzione con GeoGebra è come le precedenti:

Per ottenere il segmento BD uguale a CB:

• Semiretta: traccia la semiretta AB
• Cirocnferenza: disegna la circonferenza di centro B e raggio BC, che interseca la semiretta AB nel punto D

Ripetizione della descrizione del quadrato su AB e delle altre costruzioni.

Algebricamente, se x = y + z, allora \(4xy+z^{2}=\left(x+y\right)^{2}\). Come un'identità,

\(4xy+\left(x-y\right)^{2}=\left(x+y\right)^{2}\)

Questa proposizione non è più usata nel Libro 2.