LIBRO III
Prop.28: Nei cerchi uguali le rette uguali sottraggono archi uguali, il maggiore al maggiore, il minore al minore
Dimostrazione
Siano dati i cerchi uguali ABC, DEF, e in essi siano date le rette uguali AB, DE, che sottraggono gli archi ACB, DFE maggiori e AGB, DHE minori: dico che l'arco maggiore ACB è uguale all'arco maggiore DFE, e che l'arco minore AGB a DHE.
Si prendano i centri K e L dei cerchi (Prop.3-1), e si congiungano AK, KB, DL, LE.
E poiché i cerchi sono uguali, anche i raggi sono uguali, i due lati AK e KB sono quindi uguali ai due lati DL e LE, e la base AB è uguale alla base DE; l'angolo AKB è quindi uguale all'angolo DLE (Prop.1-8).
Ma angoli uguali insistono su archi uguali quando sono sui centri; l'arco AGB è quindi uguale all'arco DHE (Prop.3-26). Ed anche il cerchio totale ABC è uguale al cerchio totale DEF; anche l'arco restante ACB è quindi uguale all'arco restante DFE.
Nei cerchi uguali le rette uguali sottraggono quindi archi uguali, il maggiore al maggiore, il minore al minore.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro di centro K
- Segmento: disegna la corde BC
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza DEF di centro L e raggio uguale a KB
- Segmento di data lunghezza: disegna la corda EF uguale alla corda BC
- Segmento: disegna i raggi BK, CK, EL, FL
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-30 e nel Libro XIII.