LIBRO V
Prop.13: Se una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la terza ha con la quarta un rapporto maggiore che una quinta con una sesta, allora la prima ha con la seconda un rapporto maggiore della quinta con la sesta
Dimostrazione
Abbia una prima grandezza A con una seconda B lo stesso rapporto di una terza C con una quarta D, e abbia la terza C con la quarta D un rapporto maggiore rispetto a quello di una quinta E con una sesta F: dico che anche la prima A ha con la seconda B un rapporto maggiore di quello della quinta E con la sesta F.
Poiché infatti vi sono certi equimultipli di C ed E, e di D e F altri equimultipli, tali che il multiplo di C eccede il multiplo di D, mentre il multiplo di E non eccede il multiplo di F, siano stati presi e siano G e H equimultipli di C ed E, e K e L altri, come capita, equimultipli di D e F, così che G eccede K, ma H non eccede L. E quante volte multiplo è G di C, tante volte multiplo sia anche M di A, e, quante volte multiplo sia K di D, tante volte multiplo sia N di B (Def.5-7).
Ora, poiché A sta a B come C sta a D, e risultano presi di A e C gli equimultipli M e G, e di B e D altri, come capita, equimultipli N e K, allora, se M eccede N, anche G eccede K; se è uguale, è uguale; e se minore, minore (Def.5-5).
Ma G eccede K, anche M eccede quindi N. Ma H non eccede L, e M e H sono equimultipli di A ed E, e N e L altri, come capita, equimultipli di B e F, pertanto A ha con B un rapporto maggiore di quello di E con F (Def.5-7).
Se quindi una prima grandezza ha con la seconda lo stesso rapporto così come una terza con una quarta, e la terza ha con la quarta un rapporto maggiore che una quinta con una sesta, allora la prima ha con la seconda un rapporto maggiore della quinta con la sesta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, E
- Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti D = BC/A e F>BE/A
- Circonferenza di dato raggio: disegna le circonferenze avente come centro M, G, H, e raggio due volte rispettivamente i segmenti A, C, E e le circonferenze avente come centro N, K, L e raggio tre volte rispettivamente i segmenti B, D, F
Questa proposizione afferma che
se \(a:b = c:d\) e \(c:d > e:f\) allora \(a:b > e:f\)
Una condizione analoga vale qualora si consideri una relazione di minoranza.
Questa proposizioneè usata nella Prop.5-20 e nella Prop.5-21.