LIBRO V
Prop.12: Se un qualunque numero di grandezze sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti
Dimostrazione
Siano quante si voglia grandezze A, B, C, D, E, F in proporzione, come A sta a B, C sta a D, e E sta a F: dico che come A sta a B così la somma di A, C, E sta alla somma di B, D, F.
Si prendano infatti gli equimultipli G, H, K di A, C, E, e se ne prendano altri, come capita, L, M, N di B, D, F.
E poiché A sta a B come C sta a D, e come E sta a F, e risultano presi di A, C, E equimultipli G, H, K, e di B, D, F altri, come capita, equimultipli L, M, N, se quindi G eccede L, allora anche H eccede M, e K eccede N; se è uguale, è uguale; e se minore, minore. Così che, anche, se G eccede L, allora la somma di G, H, K eccede la somma di L, M, N; se è uguale, è uguale, se minore, minore (Def.5-5).
Ora G e la somma di G, H, K sono equimultipli di A e della somma di A, C, E, poiché se un numero qualsiasi di grandezze sono ognuno lo stesso multiplo dello stesso numero di altre grandezze, allora la somma è quel multiplo della somma (Prop.5-1).
Per gli stessi motivi L e la somma di L, M, N sono pure equimultipli di B e della somma di B, D, F, pertanto A sta a B come la somma di A, C, E sta alla somma di B, D, F (Def.5-5).
Se quindi un qualunque numero di grandezze sono in proporzione, allora uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, E
- Segmento di lunghezza data: disegna i segmenti D = BC/A e F=BE/A
- Circonferenza di dato raggio: disegna le circonferenze avente come centro G, H, K, e raggio due volte rispettivamente i segmenti A, C, E e le circonferenze avente come centro L, M, N e raggio tre volte rispettivamente i segmenti B, D, F
La forma generale di questa proposizione è che se \(a:b = c:d = ... =x:y\), allora ognuno di questi rapporti è pure uguale al rapporto\((a+c+...+x) = (b+d+...+y)\).
Questa proposizione è usata nella Prop.5-15 e in altre dimostrazioni dei libri VI, X e XII.