LIBRO V
Prop.15: Le parti hanno lo stesso rapporto dei loro equimultipli
Dimostrazione
Sia AB equimultiplo di C così come DE di F: dico che C sta a F come AB sta a DE.
Poiché AB è equimultiplo di C così come DE di F, quante grandezze sono quindi in AB uguali a C, tante ve ne sono in DE uguali a F. Si divida AB nelle grandezze AG, GH, HB uguali a C, e si divida DE nelle grandezze DK, KL,LE uguali a F. Allora la molteplicità di AG, GH, HB è uguale a quella di DK, KL, LE.
E poiché, AG, GH, HB sono uguali tra loro, e DK, KL, LE sono pure uguali tra loro, AG sta quindi a DK come GH sta a KL, e come HB sta a LE (Prop.5-7). Allora una degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti. AG sta quindi a DK come AB sta a DE (Prop.5-12).
Ma AG è uguale a C e DK è uguale a F, C sta quindi a F come AB sta a DE.
Le parti hanno quindi lo stesso rapporto dei loro equimultipli.
- Segmento: disegna i segmenti C e F
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmenti AD = 3C e DE = 3F
Questa proposizione afferma che
se n un numero qualunque e c e f sono grandezze omogenee, allora \(c:f = nc:nf\)
Questa proposizione è usata nella Prop.5-16.