Elementi di Euclide

Prop.16: Se quattro grandezze sono in proporzione, allora anche alternando saranno in proporzione

Dimostrazione

Siano A, B, C, D quattro grandezze proporzionali, così che A sta a B come C sta a D: dico che anche alternando saranno in proporzione, cioè A sta a C come B sta a D.

Si prendano equimultipli E, F di A, B, e si prendano altri, come capita, equimultipli G, H di C, D.

E poiché E è equimultiplo di A come F di B, e le parti hanno lo stesso rapporto dei multipli presi allo stesso modo (Prop.5-15), allora A sta a B come E sta a F. Ma A sta a B come C sta a D, quindi C sta a D come E sta a F (Prop.5-11).

Di nuovo, poiché G, H sono equimultipli di C, D, allora C sta a D come G sta a H, dei conseguenti come la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti. AG sta quindi a DK come AB sta a DE (Prop.5-15). Ma C sta a D come E sta a F, pertanto come E sta a F così G sta a H (Prop.5-11).

Ma se quattro grandezze sono proporztionali, e la prima è maggiore della terza, allora anche la seconda è maggiore della quarta; se è uguale è uguale, se minore, minore (Prop.5-14).

Se quindi E eccede G, anche F eccede H; se uguale, uguale e se minore, minore. Ora E e F sono equimultipli di A e B, e G e H altri, come capita, equimultipli di C e D, quindi A sta a C come B sta a D (Def.5-5).

Se quindi quattro grandezze sono in proporzione, allora anche alternando saranno in proporzione.

• Segmento: disegna i segmenti A, B, C
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D tale che D = BC/A
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti E = 3A, F = 3B, G = 2C, H = 2D