Elementi di Euclide

Prop.23: Se vi sono tre grandezze e altre uguali ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora esse anche tramite uguale sono nello stesso rapporto

Dimostrazione

Siano tre grandezze A, B, C, e altre D, E, F, uguali ad esse in molteplicità, che, prese a due a due, sono nello stesso rapporto, e sia la loro proprorzione perturbata, così che A sta a B come E sta a F, e B sta a C come D sta a E: dico che A sta a C come D sta a F (Def.5-18).

Si prendano gli equimultipli G, H, K di A, B, D, e se ne prendano altri, come capita, L, M, N di C, E, F.

Poiché G, H sono equimultipli di A, B, e le parti hanno le stesso rapporto dei loro multipli, allora A sta a B come G sta a H (Prop.5-15). Per gli stessi maotivi E sta a F come M sta a N; e A sta a B come E sta a F, G sta quindi ad H come M sta a N (Prop.5-11).

Di nuovo, poiché B sta a C come D sta a E, anche alternando, B sta a D come C sta a E (Prop.5-16). E poiché H, K sono equimultipli di B, D, e le parti hanno lo stesso rapporto dei loro equimultipli, B sta quindi a D come H sta a K (Prop.5-15).

Ma B sta a D come C sta a E, anche H sta quindi a K come C sta a E (Prop.5-11). Di nuovo, poiché L, M sono equimultipli di C, E, allora C sta a E come L sta a M (Prop.5-15). Ma C sta a E come H sta a K, allora anche H sta a K come L sta a M (Prop.5-11), e, alternando, H sta a L come K sta a M (Prop.5-16). Ma è stato anche dimostrato che G sta a H come M sta a N.

E poiché vi sono tre grandezze G, H, L, e altre uguali ad esse in molteplicità K, M, N, che prese a due a due sono nello stesso rapporto, e la loro proporzione è perturbata, allora, tramite uguale, se G eccede L, anche K eccede N; se uguale, è uguale; se minore, minore (Prop.5-21). E G, K sono equimultipli di A, D, e L, N di C, F. A sta quindi a C come D sta a F (Def.5.5).

Se quindi vi sono tre grandezze e altre uguale ad esse in molteplicità, che prese due a due sono nello stesso rapporto, e la cui proporzione è perturbata, allora esse anche tramite uguale sono nello stesso rapporto.

• Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = CD/B e il segmento F = BE/A
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti G = 3A, H = 3B, k = 3D, L = 2C, M = 2E, N = 2F

Questa proposizione afferma che quando a, b, c, d, e, f sono grandezze omogenee, se

\(a:b = e:f\) e \(b:c = d:e\) allora \(a:c = d:f\)

Questa proposizione è usata nella Prop.5-24.