LIBRO V
Prop.24: Se una prima grandezza ha con una seconda lo stesso rapporto come una terza con una quarta, e anche una quinta ha con una seconda lo stesso rapporto così come una sesta con una quarta, allora la somme della prima e quinta ha lo stesso rapporto con la seconda così come la somma della terza ha con la quarta
Dimostrazione
Una prima grandezza AB abbia con una seconda C lo stesso rapporto che una terza DE ha con una quarta F, e anche una quinta BG abbia con la seconda C lo stesso rapporto che una sesta EH ha con la quarta F: dico che la somma della prima e quinta, AG, ha con la seconda C lo stesso rapporto che la somma della terza e sesta, DH, ha con la quarta F.
Poiché BG sta a C come EH sta a F, inversamente, C sta a BG come F sta EH (Prop.5-7-Cor). E poiché AB sta a C come DE sta a F, e C sta a BG come F sta a EH, allora, tramite uguale, AB sta a BG come DE sta a EH (Prop.5-22).
E poiché le grandezze sono proporzionali prese separatamente, sono pure proporzionali prese unitamente (Prop.5-18), AG sta quindi a GB come DH sta a HE. Ma anche BG sta a C come EH sta a F, allora tramite uguale, AG sta a C come DH sta a F (Prop.5-22).
Se quindi una prima grandezza ha con una seconda lo stesso rapporto come una terza con una quarta, e anche una quinta ha con una seconda lo stesso rapporto così come una sesta con una quarta, allora la somme della prima e quinta ha lo stesso rapporto con la seconda così come la somma della terza ha con la quarta.
- Segmento: disegna i segmenti AB, C, DE, BG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento F = CxDE/A e il segmento EH = FxBG/C
Questa proposizione afferma se
\(a:b = c:d\) e \(e:b = f:d\) allora \(a+e):b = (c+f):d\)
Questa proposizione è usata nel Prop.6-31
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