Elementi di Euclide

Prop.25: Se quattro grandezze sono in proporzione, allora la somma della maggiore e della minore è maggiore della somma delle due restanti

Dimostrazione

Siano quattro grandezze AB, CD, E, F in proporzione così che AB sta a CD come E sta a F, e sia AB la maggiore tra loro e F la minore: dico che la somma di AB e F è maggiore della somma di CD e E.

Si prenda AG uguale a E, e CH uguale a F. Poiché AB sta a CD come E sta a F, ed E è uguale a AG, e F a CH, allora AB sta a CD come AG sta a CH (Prop.5-7, Prop.5-11).

E poiché AB totale sta a CD totale come la parte AG sottratta sta alla parte CH sottratta, allora anche GB rimanente sta a HD rimanente come AB totale sta a CD totale (Prop.5-19). Ma AB è maggiore di CD, snche GB è quindi maggiore di HD (Prop.5-14).

E poiché AG è uguale a E, e CH è uguale a F, allora la somma di AG e F è uguale alla somma di CH ed E. E se, essendo GB e HD disuguali, e GB maggiore, la somma di AG ed F è aggiunta a GB, e la somma di CH ed E è aggiunta ad HD, ne segue che la somma di AB e F è maggiore della somma di CD ed E.

Se quindi quattro grandezze sono in proporzione, allora la somma della maggiore e della minore è maggiore della somma delle due restanti.

• Segmento: disegna i segmenti AB, CD ,E
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento F = CDxE/AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento AG = E e CH = F

Questa proposizione afferma che se

\(a:b = c:d\) e \(a\) è la maggiore tra loro mentre \(d\)è la minore, allora \(a+d > b+c\)

Questa proposizione non è più utilizzata.

Un caso particolare è quello della proporzione continua, nella quale b e c sono uguali tra loro. In questo caso, la relazione diviene se \(a:b = b:d\) e \(a\) è la maggiore tra loro mentre \(d\) è la minore, allora \(a+d > 2b\). La grandezza \(b\) è uguale alla radice quadrata del prodotto \(ad\), cioè la media geometrica. La grandezza \(b\) diviene allora minore della media aritmetica tra le due grandezze \(a\) e \(d\). Si può ricavare che la media aritmetica tra due grandezze è minore della loro media geometrica.