Elementi di Euclide

Prop.9: I quadrati sulle rette commensurabili in lunghezza hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che tra loro hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, hanno anche i loro lati commensurabili in lunghezza. Ma i quadrati su rette incommensurabili in lunghezza non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, non hanno neanche i loro lati commensurabili in lunghezza

Dimostrazione

- Siano A, B commensurabili in lunghezza: dico che il quadrato su A ha con il quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

Poiché A é commensurabile in lunghezza con B, allora A ha con B il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-5). Abbia il rapporto che C ha con D.

Poiché quindi A sta a B come C sta a D, ma il rapporto tra il quadrato su A e il quadrato su B é raddoppiato rispetto al rapporto tra A e B, le figure simili sono infatti in rapporto raddoppiato di quello dei loro lati omologhi (Prop.6-20), e il rapporto tra il quadrato su C e il quadrato su D é raddoppiato rispetto al rapporto di C con D, - tra due numeri quadrati vi é infatti un solo medio proporzionale (Prop.8-11)-, e il numero quadrato ha con il numero quadrato il rapporto raddoppiato che il lato ha con il lato, allora il quadrato su A sta al quadrato su B come il quadrato su C sta al quadrato su D.

- Ma ora sia come il quadrato su A rispetto a quello su B, così il quadrato su C rispetto al quadrato su D: dico che A é commensurabile in lunghezza a B.

Poiché il quadrato su A sta al quadrato su B come il quadrato su C sta al quadrato su D, ma il rapporto tra il quadrato su A e il quadrato su B é raddoppiato rispetto al rapporto tra A e B, e il rapporto tra il quadrato su C e il quadrato su D é raddoppiato rispetto al rapporto tra C e D, allora A sta a B come C sta a D. Pertanto A ha con B il rapporto che il numero C ha con il numero D. A é quindi commensurabile in lunghezza con B (Prop.10-6).

- Sia ora A incommensurabile in lunghezza con B: dico che il quadrato su A non ha rispetto al quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

Se il quadrato su A ha con il quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora A é commensurabile con B. Ma così non é, pertanto il quadrato su A non ha con il quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

- Ora, di nuovo, il quadrato su A non abbia con il quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato: dico che A é incommensurabile in lunghezza con B.

Se infatti A é commensurabile con B, allora il quadrato su A ha con il quadrato su B il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. Ma così non é, quindi A non é commensurabile in lunghezza con B.

I quadrati quindi sulle rette commensurabili in lunghezza hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che tra loro hanno il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, hanno anche i loro lati commensurabili in lunghezza. Ma i quadrati su rette incommensurabili in lunghezza non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato; e i quadrati che non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, non hanno neanche i loro lati commensurabili in lunghezza.

Corollario 1: E sarà manifesto da quanto dimostrato che le rette commensurabili in lunghezza sono sempre commensurabili anche in potenza, ma quelle commensurabili in potenza non sono sempre commensurabili in lunghezza.

Lemma: Nei libri aritmetici è stato dimostrato che numeri piani simili stanno tra loro come un numero quadrato sta a un numero quadrato, e se due numeri stanno tra loro come un numero quadrato, allora sono numeri piani simili. E numeri che non sono numeri piani simili, cioè quelli che non hanno i lati in proporzione, non stanno tra loro come un numero quadrato sta a un numero quadrato (Prop.8-6).

Corollario 2: Ed è manifesto da queste proposizioni che numeri che non sono piani simili, cioè, quelli che non hanno i loro lati in proporzione, non hanno tra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = BxC/A (i segmenti sono colorati in rosso perché rappresentano numeri e non grandezze, come A e B)

In questa proposizione si considerano solo rette. Un esempio appplicativo può essere quello che riguarda la diagonale e il lato di un quadrato che non sono commensurabili poiché i quadrati su di essi stanno nel rapporto \(2:1\), e tale rapporto non è quello di un numero quadrato con un numero quadrato, poiché \(2\) non è il quadrato di un numero razionale.