Elementi di Euclide

Prop.6: Se due grandezze hanno tra loro il rapporto che un numero ha con un numero, allora le grandezze sono commensurabili

Dimostrazione

Due grandezze A, B abbiano tra loro il rapporto che un numero D ha con un numero E: dico che le grandezze A e B sono commensurabili.

Quante unità sono in D, in tante grandezze uguali sia diviso A, e uguale a una sola di esse sia C; e quante unità sono in E, da tante grandezze uguali a C sia composto F.

Poiché quindi vi sono in A tante grandezze uguali a C quante unità sono in D, quale parte è quindi l'unità di D, la stessa parte è pure C di A. Pertanto C sta ad A come l'unità sta a D (Def.7-20). Ma l'unità misura il numero D, pertanto anche C misura A. Ma poiché C sta ad A come l'unità sta a D, allora, invertendo, A sta a C come il numero D sta all'unità (Prop.5-7-Cor).

Di nuovo, poiché vi sono in F tante grandezze uguali a C quante unità vi sono in E, allora C sta a F come l'unità sta a E (Def.7-20).

Ma è stato dimostrato che A sta a C come D sta all'unità, allora, tramite uguale, A sta a F come D sta a E (Prop.5-22). Ma D sta a E come A sta a B, quindi A sta a B come sta anche con F (Prop.5-11). Pertanto A ha lo stesso rapporto con ognuna delle grandezze B e F. Allora B è uguale a F (Prop.5-9).

Ma C misura F, pertanto misura anche B. Inoltre misura anche A, pertanto C misura A e B. A è quindi commensurabile a B.

Corollario: Da questo è pertanto manifesto che, se vi sono due numeri come D ed E, e una retta come A, allora è possibile fare come il numero D rispetto al numero E, così la retta F rispetto a una retta. E se si prende anche un medio proporzionale di A e F, come B, allora A sta a F come il quadrato su A sta al quadrato su B, cioè, il primo sta al terzo come la figura sul primo sta a quella che è simile e similmente descritta sul secondo (Prop.5-19-Cor). Ma A sta a F come il numero D sta al numero E, pertanto il numero D sta al numero E come la figura sulla retta A sta alla figura sulla retta B.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B, C
• Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti D = A/C; E = B/C

Questa è l'inversa della proposizione precedente, cioè

se \(A:B = m:n\) allora \(A = mC\) e \(B = nC\) cioè il rapporto tra due grandezze commensurabili è espresso da un numero razionale.