Elementi di Euclide

Prop.1: Fissate due grandezze disuguali, se dalla maggiore è sottratta una grandezza maggiore della sua metà, e dalla parte restante una grandezza maggiore della sua metà, e così si procede successivamente, allora rimarrà una certa grandezza minore della grandezza minore fissata

Dimostrazione

Siano AB e C due grandezze disuguali, con AB maggiore di C: dico che se da AB si sottrae una grandezza maggiore della sua metà, e da quella rimasta una grandezza maggiore della sua metà, e se si procede in successione, allora rimarrà una certa grandezza minore della grandezza C.

Se si prendono multipli di C, si avrà un multiplo DE maggiore di AB (Def.5-4). Si divida DE nelle parti DF, FG, GE uguali a C. Da AB si sottragga BH maggiore della sua metà, e da AH si sottragga HK maggiore della sua metà, e si proceda successivamente finché le divisioni in AB sono uguali in molteplicità alle divisioni in DE.

Siano dunque, AK, KH, HB le divisioni uguali in molteplicità con DF, FG, GE. Ora, poiché DE è maggiore di AB, e da DE è stata sottratta EG minore della sua metà, e, da AB, BH maggiore della sua metà, allora la restante GD è maggiore della restante HA.

E poiché GD è maggiore di HA, e sono state sottratte da GD la metà GF, e da HA, HK maggiore della sua metà, allora la restante DF è maggiore della restante AK. Ma DF è uguale a C, pertanto anche C è maggiore di AK. Quindi AK è minore di C.

Resta quindi fuori dalla grandezza AB la grandezza AK che è minore della minore grandezza fissata C.

E similmente sarà dimostrato anche se le grandezze sottratte sono metà.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti AB, C
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DE = 3xC
• Circonferenza di dato raggio: traccia i punti F a distanza C da D e G a distanza 2C da D
• Punto Medio: traccia il punto medio di AB
• Punto: disegna il punto H appartenente al segmento metà di AB
• Segmento: disegna il segmento BH
• Punto Medio: traccia il punto medio di AH
• Punto: traccia il punto K appartenente al segmento metà di AH
• Segmento: disegna il segmento HK
• nascondi i punti medi

Questa proposizione è il fondamento del metodo di esaustione nel Libro XII. Non è più usato nel resto del Libro X. Il teorema afferma che operando su due grandezze (omogenee) di cui una maggiore, è possibile ricavarne sempre una minore di una qualsiasi minore fissata (in questo caso indicata con C), cioè esiste sempre il più piccolo del più piccolo.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro X.