LIBRO X
Prop.2: Se, quando la minore di due grandezze disuguali è sottratta reciprocamente con continuità dalla maggiore, quella che rimane non misura mai completamente quella prima di se stessa, allora le due grandezze sono incommensurabili
Dimostrazione
Essendo AB e CD due grandezze disuguali, con AB la minore, quando la minore è sottratta reciprocamente in successione dalla maggiore, la restante non misuri mai completamente quella prima di se stessa: dico che le grandezze AB, CD sono incommensurabili.
Se sono commensurabili, allora una certa grandezza E le misura. E AB, misurando FD, da un resto CF minore di se stessa, e CF misurando completamente BG, da un resto AG minore di se stessa, e questo procedimento continui in successione, finché resti una certa grandezza chè è minore di E.
Risulti essere, e sia AG la grandezza restante minore di E. Allora, poiché E misura AB, mentre AB misura DF, allora anche E misura FD. Ma misura anche CD totale; misura quindi anche il resto CF. Ma CF misura BG, pertanto E misura anche BG. Ma misura anche AB totale, misura quindi anche il resto AG, il maggiore il minore, il che è impossibile.
Nessuna grandezza misura quindi le grandezze AB e CD. Pertanto le grandezze AB e CD sono incommensurabili (Def.10-1).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD, E
- Circonferenza di dato raggio: riporta il segmento AB su CD, ottenendo il segmento differenza; riporta il segmento AB sulla differenza, ottenendo il segmento CF
- Circonferenza di dato raggio:riporta il segmento E su AB, ottenendo il segmento differenza; riporta il segmento E sulla differenza, ottenendo il segmento AG
Questa proposizione riprende la modalità dimostrativa della Prop.7-1, che trattava i numeri primi e che portava al calcolo del massimo comun divisore tra due numeri.
Questa proposizione implica facilmente l'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato, rapporto espresso dalla famosa radice di 2. Un altro famoso esempio è quello della sezione aurea (si veda la Def.6-3).